Uma prova de estatística apresentou notas normalmente distribuídas, com média igual a 75 pontos e desvio padrão igual a 8 pontos. Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, ter nota:
entre 70 e 85 .
entre 70 e 85 .
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição normal das notas com média e desvio padrão:
- Média:
. - Desvio padrão:
.
A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter nota entree , ou seja, calcular
onde
é a nota do aluno.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (de forma simples).
Quando é normalmente distribuída com média
e desvio padrão
, escrevemos
. Para calcular probabilidades usamos a padronização: transformamos
numa variável normal padrão
com média
e desvio
usando a fórmula
Quando
Aqui:
-
é a nota original; -
é a média ( ); -
é o desvio padrão ( ); -
é a variável normal padrão, cuja função de distribuição é .
Padronizar facilita porque tabelas ou calculadoras fornecem valores de
.
Passo 3
Calcular os z-scores das duas bordas
e
.
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 4
Expressar a probabilidade em termos da função de distribuição padrão
:
Lembrando a simetria da normal padrão:
. Assim
Portanto
Passo 5
Buscar os valores na tabela da normal padrão (ou usar calculadora). Valores aproximados de tabela:
Substituindo:
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, numa turma com essa distribuição de notas, cerca de
dos alunos terão nota entre
e
. Bom trabalho — você já sabe padronizar e usar a tabela, que é a técnica que normalmente cai na prova!