Uma prova de estatística apresentou notas normalmente distribuídas, com média igual a 75 pontos e desvio padrão igual a 8 pontos. Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, ter nota:
entre 70 e 85 .

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição normal das notas com média e desvio padrão:
  • Média: \mu=75.
  • Desvio padrão: \sigma=8.
    A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter nota entre 70 e 85, ou seja, calcular
P(70 \le X \le 85),
onde X é a nota do aluno.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (de forma simples).
Quando X é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos a padronização: transformamos X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1 usando a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a nota original;
  • \mu é a média ( 75);
  • \sigma é o desvio padrão ( 8);
  • Z é a variável normal padrão, cuja função de distribuição é \Phi(z)=P(Z\le z).
Padronizar facilita porque tabelas ou calculadoras fornecem valores de \Phi(z).

Passo 3

Calcular os z-scores das duas bordas 70 e 85.
Para 70:
z_1=\frac{70-75}{8}=\frac{-5}{8}=-0,625.
Para 85:
z_2=\frac{85-75}{8}=\frac{10}{8}=1,25.
Portanto
P(70\le X\le85)=P(-0,625\le Z\le1,25).

Passo 4

Expressar a probabilidade em termos da função de distribuição padrão \Phi:
P(-0,625\le Z\le1,25)=\Phi(1,25)-\Phi(-0,625).
Lembrando a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
\Phi(-0,625)=1-\Phi(0,625).
Portanto
P(-0,625\le Z\le1,25)=\Phi(1,25)-\bigl(1-\Phi(0,625)\bigr)=\Phi(1,25)+\Phi(0,625)-1.

Passo 5

Buscar os valores na tabela da normal padrão (ou usar calculadora). Valores aproximados de tabela:
\Phi(1,25)\approx 0,89435, \qquad \Phi(0,625)\approx 0,73405.
Substituindo:
P(70\le X\le85)\approx 0,89435+0,73405-1=0,62840.
Em porcentagem isso é aproximadamente 62,84\%.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, numa turma com essa distribuição de notas, cerca de 62{,}8\% dos alunos terão nota entre 70 e 85. Bom trabalho — você já sabe padronizar e usar a tabela, que é a técnica que normalmente cai na prova!

Resposta

0,6284 (aprox. 62,84\%)

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