- Considere uma asa com forma em planta retangular, cuja seção transversal é um perfil simétrico, sem torção geométrica e com alongamento
. Admitindo que a distribuição de circulação ao longo da envergadura da asa seja bem representada pelos 2 primeiros termos ímpares da série de Fourier de senos (os termos pares são nulos devido à simetria), ou seja:
Determine:
9a) Os coeficientes
e
, resolvendo a equação fundamental da teoria da linha de sustentação de Prandtl nas seções cujos valores de
são
e
.
9a) Os coeficientes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício é sobre a teoria da linha de sustentação de Prandtl, que a gente usa pra analisar a sustentação em asas de avião. A gente tem uma asa retangular com certa geometria e precisa encontrar os coeficientes $ A_{1} $ e $ A_{3} $ que aparecem na distribuição de circulação. Para isso, vamos usar a equação fundamental da teoria de Prandtl nas seções onde $ \theta_{o} = \pi/4 $ e $ \theta_{o} = \pi/2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a circulação $ \Gamma(\theta_{o}) $. Ela representa a força de sustentação distribuída ao longo da asa. A expressão dada é:
Aqui, $ b $ é a envergadura da asa, $ V_{\infty} $ é a velocidade do fluxo livre, e $ \theta_{o} $ é o ângulo de ataque.
Passo 3
A teoria da linha de sustentação de Prandtl nos dá uma relação entre a circulação e a carga alar. A equação fundamental pode ser escrita como:
Onde $ R = 3 $ no nosso caso.
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões para $ \Gamma(\theta_{o}) $:
Simplificando os termos comuns:
Passo 5
Agora, vamos usar os valores de $ \theta_{o} = \pi/4 $ e $ \theta_{o} = \pi/2 $ para formar um sistema de equações e resolver para $ A_{1} $ e $ A_{3} $.
Primeiro, para $ \theta_{o} = \pi/4 $:
Passo 6
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{\sqrt{2}} $:
Racionalizando:
Passo 7
Agora, para $ \theta_{o} = \pi/2 $:
Sabendo que:
Substituindo:
Passo 8
Agora temos o sistema de equações:
- $ A_{1} + A_{3} = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ A_{1} - A_{3} = \frac{3}{2} $
Vamos somar as duas equações:
Dividindo por 2:
Passo 9
Agora, substituindo $ A_{1} $ na segunda equação:
Isolando $ A_{3} $:
Convertendo $ \frac{3}{2} $ para denominador 4:
Resposta
Os coeficientes são: