1. Considere uma asa com forma em planta retangular, cuja seção transversal é um perfil simétrico, sem torção geométrica e com alongamento R=3. Admitindo que a distribuição de circulação ao longo da envergadura da asa seja bem representada pelos 2 primeiros termos ímpares da série de Fourier de senos (os termos pares são nulos devido à simetria), ou seja:
Gamma(thetao)=2 b Vinfty[A1 sen thetao+A3 sen(3 thetao)]
Determine:
9a) Os coeficientes A1 e A3, resolvendo a equação fundamental da teoria da linha de sustentação de Prandtl nas seções cujos valores de thetao são pi / 4 e pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício é sobre a teoria da linha de sustentação de Prandtl, que a gente usa pra analisar a sustentação em asas de avião. A gente tem uma asa retangular com certa geometria e precisa encontrar os coeficientes $ A_{1} $ e $ A_{3} $ que aparecem na distribuição de circulação. Para isso, vamos usar a equação fundamental da teoria de Prandtl nas seções onde $ \theta_{o} = \pi/4 $ e $ \theta_{o} = \pi/2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a circulação $ \Gamma(\theta_{o}) $. Ela representa a força de sustentação distribuída ao longo da asa. A expressão dada é:
Gamma(thetao)
Aqui, $ b $ é a envergadura da asa, $ V_{\infty} $ é a velocidade do fluxo livre, e $ \theta_{o} $ é o ângulo de ataque.

Passo 3

A teoria da linha de sustentação de Prandtl nos dá uma relação entre a circulação e a carga alar. A equação fundamental pode ser escrita como:
Gamma(thetao) = 4 Vinfty b sin thetao ( R - cos thetaoR + 1 )
Onde $ R = 3 $ no nosso caso.

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para $ \Gamma(\theta_{o}) $:
Gamma(thetao)
Simplificando os termos comuns:
2 b Vinfty[A1 sin thetao + A3 sin(3 thetao)] = 4 Vinfty b sin thetao ( 3 - cos thetao4 )
A1 sin thetao + A3 sin(3 thetao) = 2 sin thetao ( 3 - cos thetao4 )

Passo 5

Agora, vamos usar os valores de $ \theta_{o} = \pi/4 $ e $ \theta_{o} = \pi/2 $ para formar um sistema de equações e resolver para $ A_{1} $ e $ A_{3} $.
Primeiro, para $ \theta_{o} = \pi/4 $:
thetao = pi/4

Passo 6

Calculando os valores trigonométricos:
sin(pi4) = raiz22, sin(3pi4) = raiz22, cos(pi4) = raiz22
Substituindo na equação:
A1 cdot raiz22 + A3 cdot raiz22 = 3 - raiz222 cdot raiz22
Simplificando:
raiz22(A1 + A3) = (3)(raiz2/2) - (raiz2/2)(raiz2/2)2
raiz22(A1 + A3) = 3raiz2/2 - 1/22
raiz22(A1 + A3) = 3raiz2 - 14
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{\sqrt{2}} $:
2raiz2
Racionalizando:
A1 + A3 = 3raiz2 - 12raiz2/2 = 3raiz2 - 1raiz2

Passo 7

Agora, para $ \theta_{o} = \pi/2 $:
thetao = pi/2
Sabendo que:
A1 sin(pi2) + A3 sin(3 cdot pi2) = 3 - cos(pi2)2 sin(pi2)
Substituindo:
sin(pi2) = 1, sin(3pi2) = -1, cos(pi2) = 0
A1 cdot 1 + A3 cdot (-1) = 3 - 02 cdot 1

Passo 8

Agora temos o sistema de equações:
  1. $ A_{1} + A_{3} = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} $
  2. $ A_{1} - A_{3} = \frac{3}{2} $
Vamos somar as duas equações:
A1 + A3 = 3 - raiz22
A1 - A3 = 32
Dividindo por 2:
2A1 = 3 - raiz22 + 32

Passo 9

Agora, substituindo $ A_{1} $ na segunda equação:
A1
Isolando $ A_{3} $:
9 - raiz24 - A3 = 32
Convertendo $ \frac{3}{2} $ para denominador 4:
A3

Resposta

Os coeficientes são:
A1 = 9 - raiz24 e A3 = 3 - raiz24

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