Considere um astronauta de massa m situado hipoteticamente sobre a linha equatorial da superfície de um planeta recém-descoberto de massa M e raio R, que gira com velocidade angular \omega. A massa mínima desse planeta, para que o astronauta não seja lançado para fora de sua superfície, é
a) M=\omega R / G
b) M=\omega^{2} R / G
c) M=\omega R^{3} / G
d) M=\omega^{2} R^{3} / G
e) M=\omega^{2} R^{2} / G

Passo 1

O enunciado considera um astronauta de massa m na linha equatorial de um planeta de massa M, raio R e velocidade angular \omega. Queremos determinar o valor mínimo de M para que a força gravitacional seja suficiente para não deixar o astronauta “voar” para fora. Usaremos mecânica clássica (leis de Newton), força gravitacional e aceleração centrífuga.

Passo 2

As duas forças atuantes sobre o astronauta são:
a) força gravitacional de módulo
F_{g} = \frac{G\,M\,m}{R^{2}}
dirigida para o centro,
b) força centrífuga de módulo
F_{c} = m\,\omega^{2}\,R
dirigida para fora.
Para que o astronauta não seja lançado, é preciso
F_{g} \ge F_{c}.

Passo 3

Dividindo a desigualdade por m e usando que na condição mínima ocorre igualdade, obtemos
\frac{G\,M}{R^{2}} = \omega^{2}\,R.

Passo 4

A partir de
\frac{G\,M}{R^{2}} = \omega^{2}\,R
isolamos M:
M = \frac{\omega^{2}\,R^{3}}{G}.

Resposta

M=\dfrac{\omega^{2}R^{3}}{G}, alternativa (d).

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