Considere um átomo de Hidrogênio (
) e o modelo de Bohr, responda:
A frequência (clássica) de revolução do elétron do átomo de hidrogênio é dada por
, onde r é o raio da órbita. Mostre que o período de rotação de um elétron na n -ésima orbita do modelo de Bohr pode ser escrito na forma:
Encontre os valores numéricos de
e
e determine o valor do período (em segundos) de rotação para o elétron na orbita
.
A frequência (clássica) de revolução do elétron do átomo de hidrogênio é dada por
Passo 1
Beleza, a questão tá falando do modelo de Bohr pro átomo de hidrogênio (Z=1). A gente tem a frequência clássica de revolução do elétron
e quer achar o período
Aqui o conteúdo é a teoria de Bohr (raio da órbita, constante de Coulomb
) e usar relações entre constantes (constante de Rydberg
, velocidade da luz
) pra reescrever tudo.
Passo 2
Primeiro, invertemos
pra achar o período:
Passo 3
No modelo de Bohr, o raio da
-ésima órbita é
Substituindo
$$T = 2\pi,(a_0,n2){3/2},\sqrt{\frac{m}{K e^2}}
= 2\pi,a_0{3/2},n3,\sqrt{\frac{m}{K e^2}},. $$
Passo 4
Agora,
e multiplicando pela raiz dá
$$a_0^{3/2}\sqrt{\tfrac{m}{K e^2}}
=\frac{\hbar^3}{m,(K e2)2},.
T = 2\pi,\frac{\hbar^3}{m,(K e2)2};n^3,. $$
Passo 5
A gente quer ligar isso à constante de Rydberg
, que satisfaz
$$R_H = \frac{m e4}{8,\varepsilon_02,h^3,c}\quad\Longrightarrow\quad
\frac{m e4}{16\pi2\varepsilon_02\hbar3} = 4\pi,c,R_H,. \frac{\hbar^3}{m,(K e2)2}
=\frac{1}{m e4/(16\pi2\varepsilon_02\hbar3)}
=\frac{1}{4\pi,c,R_H},.
T = 2\pi,\frac{1}{4\pi,c,R_H};n^3 = \frac{1}{2,c,R_H};n^3,. $$
Passo 6
Comparando com
, a gente vê que
Passo 7
Agora, pro nível
:
Substituindo
e
:
Resposta
e para