Considere um átomo de Hidrogênio ( Z=1 ) e o modelo de Bohr, responda:
A frequência (clássica) de revolução do elétron do átomo de hidrogênio é dada por f=(K e^2m)^1 / 2 12 pi r^3 / 2, onde r é o raio da órbita. Mostre que o período de rotação de um elétron na n -ésima orbita do modelo de Bohr pode ser escrito na forma:
T=alpha n^beta c^gamma RH^de
Encontre os valores numéricos de alpha, beta, gamma e de e determine o valor do período (em segundos) de rotação para o elétron na orbita com n=3.

Passo 1

Beleza, a questão tá falando do modelo de Bohr pro átomo de hidrogênio (Z=1). A gente tem a frequência clássica de revolução do elétron
f = raizK e^2m;12pi,r^3/2
e quer achar o período T = alpha,n^beta,c^gamma,RH^de pra órbita de número quântico , escrevendo
Aqui o conteúdo é a teoria de Bohr (raio da órbita, constante de Coulomb ) e usar relações entre constantes (constante de Rydberg , velocidade da luz ) pra reescrever tudo.

Passo 2

Primeiro, invertemos T = 1f = 2pi,r^3/2,raizmK e^2, pra achar o período:

Passo 3

No modelo de Bohr, o raio da rn = a0,n^2,com a0 = hbar^2m,K e^2, -ésima órbita é
T = 2pi,(a0,n^2)^3/2,raizmK e^2 = 2pi,a0^3/2,n^3,raizmK e^2,
Substituindo em :
$$T = 2\pi,(a_0,n2){3/2},\sqrt{\frac{m}{K e^2}}
= 2\pi,a_0{3/2},n3,\sqrt{\frac{m}{K e^2}},. $$

Passo 4

Agora, a0^3/2raiztfracmK e^2 =hbar^3m,(K e^2)^2, e multiplicando pela raiz dá
$$a_0^{3/2}\sqrt{\tfrac{m}{K e^2}}
=\frac{\hbar^3}{m,(K e2)2},. T = 2pi,hbar^3m,(K e^2)^2;n^3, T = 2\pi,\frac{\hbar^3}{m,(K e2)2};n^3,. $$

Passo 5

A gente quer ligar isso à constante de Rydberg RH = m e^48,varepsilon0^2,h^3,cLongrightarrow m e^416pi^2varepsilon0^2hbar^3 = 4pi,c,RH, , que satisfaz
$$R_H = \frac{m e4}{8,\varepsilon_02,h^3,c}\quad\Longrightarrow\quad
\frac{m e4}{16\pi2\varepsilon_02\hbar3} = 4\pi,c,R_H,. \frac{\hbar^3}{m,(K e2)2}
=\frac{1}{m e4/(16\pi2\varepsilon_02\hbar3)}
=\frac{1}{4\pi,c,R_H},. hbar^3m,(K e^2)^2 =1m e^4/(16pi^2varepsilon0^2hbar^3) =14pi,c,RH, T = 2\pi,\frac{1}{4\pi,c,R_H};n^3 = \frac{1}{2,c,R_H};n^3,. $$

Passo 6

Comparando com alpha = tfrac12, beta = 3, gamma = -1, de, a gente vê que

Passo 7

Agora, pro nível T = 12,c,RH;3^3 = 272,c,RH, :
T = 272 times 3,0times10^8 times 1,0974times10^7 approx 4,1times10^-15,rm s
Substituindo e :

Resposta


e para ,

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