Considere um átomo de Hidrogênio ( Z=1 ) e o modelo de Bohr, responda:
A frequência (clássica) de revolução do elétron do átomo de hidrogênio é dada por f=(K e^2m)^1 / 2 12 pi pi^3 / 2, onde r é o raio da órbita. Mostre que o período de rotação de um elétron na n-ésima orbita do modelo de Bohr pode ser escrito na forma:
T=alpha n^beta c^gamma RH^de
Encontre os valores numéricos de alpha, beta, gamma e de e determine o valor do período (em segundos) de rotação para o elétron na orbita com n=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. É sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, onde o elétron fica descrevendo órbitas circulares. A gente tem a frequência clássica de rotação
f=12piraizK e^2m,r^3,,
e quer mostrar que o período T=alpha,n^beta,c^gamma,RH^de da órbita de número quântico se escreve assim:
Então a gente vai usar:
  1. Fórmula do raio de Bohr .
  2. Constante de Rydberg .
  3. Relação entre , e as constantes físicas.

Passo 2

Primeiro escrevo o período clássico:
T=1f=2piraizm,r^3K e^2,
Aqui e é o raio da -ésima órbita.

Passo 3

No modelo de Bohr o raio da rn=a0,n^2, a0=4pivarepsilon0hbar^2m e^2, -ésima órbita é
T =2piraizm,(a0 n^2)^3K e^2 =2pi,n^3raizm,a0^3K e^2
Substituindo em T=4,varepsilon0^2h^3m e^4;n^3 :

e, depois de simplificar todas as constantes (usando e ), chega-se a

Passo 4

Agora a gente relaciona isso com a constante de Rydberg RH=m e^48,varepsilon0^2,h^3,cLongrightarrow 1RH=8,varepsilon0^2,h^3,cm e^4 , que vale
4,varepsilon0^2h^3m e^4 =12;8,varepsilon0^2h^3m e^4 =12c,1RH
Note que
T=n^3;12c,RH =underbrace12alpha; n^underbrace3beta; c^underbrace-1gamma; RH^underbrace-1de
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Passo 5

Agora os valores numéricos:
  • T(2)=2^32,c,RH =82,c,RH =4c,RH
  • T(2)approx4(3,00times10^8)(1,097times10^7) approx1,2times10^-15 s
O período para é
Com ,m/s e ,m⁻¹:

Resposta

α = 1/2, β = 3, γ = –1, δ = –1;
Para n = 2, T ≈ 1,2×10⁻¹⁵ s.

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