Considere um átomo de hidrogênio onde a força que mantém o elétron
em órbita é do tipo elástica
, onde
é uma constante positiva. Use o modelo de Bohr e deduza (a) a expressão quantizada para o raio da órbita e para (b) os níveis de energia. (c) Escreva a expressão da freqüência da luz absorvida num processo que leva o estado quântico de
para um
.
Passo 1
O enunciado dá um átomo de hidrogênio cujo elétron descreve órbitas circulares e a força central que o mantém em órbita é do tipo elástica:
com
. O problema pede três coisas:
(a) deduzir a expressão quantizada para o raio da órbita;
(b) deduzir os níveis de energia associados a essas órbitas;
(c) escrever a expressão da frequência da luz absorvida num processo que leva o nível quântico para
.
(a) deduzir a expressão quantizada para o raio da órbita;
(b) deduzir os níveis de energia associados a essas órbitas;
(c) escrever a expressão da frequência da luz absorvida num processo que leva o nível quântico
Informações importantes que vamos usar (fornecidas pelo enunciado): a forma da força
e que estamos usando o modelo de Bohr (órbitas circulares quantizadas). Não foi enviada nenhuma figura adicional.
Passo 2
Agora começo a resolução. Primeiro vou expor os postulados do modelo de Bohr que vou usar (explicando cada símbolo):
- Equilíbrio de forças na órbita circular: a força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular é provida pela força central. A expressão da força centrípeta é
onde
é a massa do elétron,
é a velocidade tangencial e
é o raio da órbita.
- Quantização do momento angular (postulado de Bohr): o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro de
,
onde
é o número quântico principal e
é a constante de Planck reduzida. Aqui
é a constante de Planck.
Vou definir claramente cada variável quando aparecer:
= massa do elétron,
= velocidade do elétron na órbita,
= raio da órbita,
= constante positiva do problema,
= número quântico inteiro.
Passo 3
Escrevo a condição de equilíbrio entre a força centrípeta e a força elástica (módulos das forças). A força elástica tem módulo
, então:
Explicação rápida: à esquerda está a aceleração centrípeta multiplicada por
; à direita está a força restauradora que aponta para o centro e tem módulo
.
Passo 4
Escrevo a condição de quantização do momento angular:
Dessa equação posso isolar
em termos de
e
. Dividindo ambos os lados por
,
Isto é importante porque me permite eliminar
da equação do passo anterior e obter uma relação só entre
e
.
Passo 5
Substituo
na equação de equilíbrio (Passo 3). A equação do passo 3 era
. Usando
,
primeiro calcule :
primeiro calcule
Agora substituo em
:
Simplifico o lado esquerdo: um fator
cancela um dos
, ficando
Multiplico ambos os lados por
:
Isolo
:
Tomo a raiz quarta dos dois lados para obter
:
Posso reescrever destacando a dependência em
. Note que
, então
Comentário didático: isso mostra que o raio cresce como a raiz quadrada de
(ou seja,
), ao contrário do átomo de Bohr com Coulomb onde
. Aqui a força elástica leva a outra depêndencia.
Passo 6
Agora calculo as energias. Primeiro a energia potencial associada à força
. Como
, integro:
Integrando em
e escolhendo
como referência,
Expliquei:
é a energia potencial elástica (como numa mola), positiva para
.
A energia cinética
é
Mas da equação do passo 3 temos
. Substituindo:
Portanto a energia total (soma de cinética e potencial) é
Observação: aqui a energia total é positiva e igual a
.
Agora substituo o valor de
encontrado no Passo 5. Primeiro calcule
. A partir de
temos
Então a energia quântica fica
Fatorizando
,
Aqui simplifiquei usando
e
. Conclusão: os níveis energéticos são proporcionais a
(níveis igualmente espaçados), com constante de proporcionalidade
.
Passo 7
Agora a frequência da luz absorvida quando ocorre uma transição do nível
para
. A energia do fóton absorvido
é a diferença entre os níveis:
A relação entre energia do fóton e frequência
é
. Assim,
Dividindo por
e lembrando que
,
Comentário: a frequência depende apenas da diferença
(portanto as linhas formam uma série de harmônicos igualmente espaçados), e a unidade de
é Hz.