( \mathbf{2 5 , 0} pontos) Uma esfera oca de raio interno 8,0 \mathrm{~cm} e raio externo 9,0 \mathrm{~cm} flutua com metade do seu volume submerso num fluido de massa específica 700 k g / m^{3}. a) (10,0 pontos) calcule a masa da esfera. b) ( 15,0 pontos) Calcule a massa específica do material de que é feito a esfera. Adote g=9,82 m / s^{2}.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (em linguagem direta, sem resolver ainda).
  • Dados: \text{raio interno } r_i = 8,0\\ \mathrm{cm},\qquad \text{raio externo } r_e = 9,0\\ \mathrm{cm},
\text{o fluido tem massa específica } \rho_f = 700\\ \mathrm{kg/m^3}, \qquad g = 9,82\\ \mathrm{m/s^2}.í
Observação: os raios estão em centímetros; na conta vamos usar metros.
  • Informação sobre flutuação: a esfera “flutua com metade do seu volume submerso”. Isso significa que o volume submerso do corpo é metade do volume externo (volume do invólucro externo da esfera), ou seja, V_{\text{submerso}}=\tfrac{1}{2}V_{\text{externo}}.
  • Perguntas:
    a) Calcular a massa da esfera (massa total do corpo oco).
    b) Calcular a massa específica (densidade) do material que forma a casca da esfera.

Passo 2

Conceito físico fundamental (Arquímedes) e equação que vamos usar.
  • Princípio de Arquimedes: um corpo em equilíbrio flutuando tem o peso igual à força de empuxo. Em fórmula: m g = \rho_f V_{\text{submerso}} g,onde m é a massa do corpo, \rho_f é a massa específica do fluido, V_{\text{submerso}} é o volume de fluido deslocado (volume submerso) e g é a aceleração da gravidade.
  • Como g aparece dos dois lados, simplifica-se para: m = \rho_f V_{\text{submerso}}.
  • Portanto, para a parte (a) precisamos calcular V_{\text{submerso}}=\tfrac{1}{2}V_{\text{externo}} e multiplicar por \rho_f.

Passo 3

Fórmula do volume de uma esfera e conversão de unidades.
  • Volume de uma esfera de raio R: V_{\text{esfera}} = \tfrac{4}{3}\pi R^{3}.Aqui R deve estar em metros para que o volume fique em \mathrm{m^3}.
  • Converto os raios para metros: r_e = 9,0\\ \mathrm{cm} = 0,09\\ \mathrm{m},\qquad r_i = 8,0\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o volume externo e o volume submerso.
  • Volume externo: V_{\text{externo}}=\tfrac{4}{3}\pi r_e^{3}=\tfrac{4}{3}\pi (0,09)^{3}.Faço as contas passo a passo: (0,09)^{3}=0,09\cdot0,09\cdot0,09=0,000729,
\tfrac{4}{3}\cdot0,000729=0,000972,
V_{\text{externo}}=0,000972\pi\\ \mathrm{m^3}\approx 0,000972\cdot3,1416=0,0030536\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume submerso (metade do externo): V_{\text{submerso}}=\tfrac{1}{2}V_{\text{externo}}=0,5\cdot0,0030536=0,0015268\\ \mathrm{m^3}.(ou em forma simbólica V_{\text{submerso}}=0,5\cdot\tfrac{4}{3}\pi(0,09)^3).

Passo 5

Calcular a massa da esfera usando o equilíbrio (resposta da parte a).
  • Usando m=\rho_f V_{\text{submerso}}: m = 700\\ \mathrm{kg/m^3}\times 0,0015268\\ \mathrm{m^3}.
m \approx 700\cdot0,0015268 = 1,06876\\ \mathrm{kg}.
  • Arredondando com a precisão dos dados (raízes dadas com uma casa decimal), podemos apresentar m\approx 1,07\\ \mathrm{kg}.
  • Observação didática rápida: reparou que g não apareceu no resultado final? Isso acontece sempre que o empuxo equilibra o peso; g se cancela.

Passo 6

Agora precisamos da massa específica (densidade) do material da casca: fórmula e volume de material.
  • Definição: massa específica (densidade) do material \rho_m é a massa do corpo dividida pelo volume de material efetivamente presente: \rho_m=\frac{m}{V_{\text{material}}}.
  • Volume do material (casca oca) é a diferença entre os volumes das esferas externa e interna: V_{\text{material}}=V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}=\tfrac{4}{3}\pi\bigl(r_e^{3}-r_i^{3}\bigr).

Passo 7

Calcular numericamente o volume do material.
  • Calculo dos cubos: r_e^{3}=(0,09)^{3}=0,000729,\qquad r_i^{3}=(0,08)^{3}=0,000512.
  • Diferença: r_e^{3}-r_i^{3}=0,000729-0,000512=0,000217.
  • Volume da casca: V_{\text{material}}=\tfrac{4}{3}\pi\cdot0,000217=0,000289333\pi\\ \mathrm{m^3}.Valor numérico: V_{\text{material}}\approx 0,000289333\cdot3,1416=0,00090823\\ \mathrm{m^3}.

Passo 8

Calcular a massa específica do material (resposta da parte b).
  • Use \rho_m=\dfrac{m}{V_{\text{material}}} com m\approx 1,06876\\ \mathrm{kg} e V_{\text{material}}\approx 0,00090823\\ \mathrm{m^3}: \rho_m \approx \frac{1,06876}{0,00090823}\\ \mathrm{kg/m^3}\approx 1176,2\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Arredondando com consistência dos dados, podemos escrever \rho_m\approx 1{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3} ou \rho_m\approx 1176\\ \mathrm{kg/m^3}.

Resposta

m\approx 1{,}07\\ \mathrm{kg}
\rho_{\text{material}}\approx 1{,}176\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3}

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