(
pontos) Uma esfera oca de raio interno
e raio externo
flutua com metade do seu volume submerso num fluido de massa específica
. a)
pontos) calcule a masa da esfera. b) ( 15,0 pontos) Calcule a massa específica do material de que é feito a esfera. Adote
.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede (em linguagem direta, sem resolver ainda).
- Dados:
Observação: os raios estão em centímetros; na conta vamos usar metros.
- Informação sobre flutuação: a esfera “flutua com metade do seu volume submerso”. Isso significa que o volume submerso do corpo é metade do volume externo (volume do invólucro externo da esfera), ou seja,
- Perguntas:
a) Calcular a massa da esfera (massa total do corpo oco).
b) Calcular a massa específica (densidade) do material que forma a casca da esfera.
Passo 2
Conceito físico fundamental (Arquímedes) e equação que vamos usar.
- Princípio de Arquimedes: um corpo em equilíbrio flutuando tem o peso igual à força de empuxo. Em fórmula:
onde é a massa do corpo, é a massa específica do fluido, é o volume de fluido deslocado (volume submerso) e é a aceleração da gravidade. - Como
aparece dos dois lados, simplifica-se para: - Portanto, para a parte (a) precisamos calcular
e multiplicar por .
Passo 3
Fórmula do volume de uma esfera e conversão de unidades.
- Volume de uma esfera de raio
: Aqui deve estar em metros para que o volume fique em . - Converto os raios para metros:
Passo 4
Calcular o volume externo e o volume submerso.
- Volume externo:
Faço as contas passo a passo:
- Volume submerso (metade do externo):
(ou em forma simbólica ).
Passo 5
Calcular a massa da esfera usando o equilíbrio (resposta da parte a).
- Usando
:
- Arredondando com a precisão dos dados (raízes dadas com uma casa decimal), podemos apresentar
. - Observação didática rápida: reparou que
não apareceu no resultado final? Isso acontece sempre que o empuxo equilibra o peso; se cancela.
Passo 6
Agora precisamos da massa específica (densidade) do material da casca: fórmula e volume de material.
- Definição: massa específica (densidade) do material
é a massa do corpo dividida pelo volume de material efetivamente presente: - Volume do material (casca oca) é a diferença entre os volumes das esferas externa e interna:
Passo 7
Calcular numericamente o volume do material.
- Calculo dos cubos:
- Diferença:
- Volume da casca:
Valor numérico:
Passo 8
Calcular a massa específica do material (resposta da parte b).
- Use
com e : - Arredondando com consistência dos dados, podemos escrever
ou .