Exercícios

No interior de uma câmara de laboratório existe um campo magnético uniforme \vec{B}, de módulo 1,2 \mathrm{mT}, orientado verticalmente para cima. Um próton com uma energía cinética de 5,3 \mathrm{MeV} entra na câmara movendo-se horizontalmente do oeste para o leste. Qual é a força experimentada pelo próton ao entrar na câmara? A massa do próton é 1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}. (Despreze o efeito do campo magnético da Terra.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força que um próton experimenta ao entrar numa câmara com campo magnético uniforme. Dados fornecidos:
\;|\vec{B}| = 1,2\\ \mathrm{mT} = 1,2\times10^{-3}\\ \mathrm{T} (orientado verticalmente para cima),
a energia cinética do próton \;K = 5,3\\ \mathrm{MeV},
massa do próton \;m = 1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
o próton entra movendo-se horizontalmente do oeste para o leste.
A pergunta é: qual é a força que o próton sente ao entrar na câmara? (queremos magnitude e direção da força.)

Passo 2

Fórmula física e interpretação: a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pelo produto vetorial
\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}.
A magnitude dessa força é
F = q\,v\,B\,\sin\theta,
onde:
  • q é a carga da partícula ( q=+e para o próton, com e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C});
  • v é a velocidade da partícula;
  • B é a intensidade do campo magnético;
  • \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.
    No nosso caso \vec{v} é horizontal (oeste→leste) e \vec{B} é vertical (para cima), logo são perpendiculares e temos \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Portanto
F = q\,v\,B.

Passo 3

Precisamos encontrar v a partir da energia cinética. Usamos a expressão clássica
K=\tfrac{1}{2} m v^2,
portanto
v = \sqrt{\dfrac{2K}{m}}.
Primeiro converto K para joules: 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então
K = 5,3\\ \mathrm{MeV} = 5,3\times10^{6}\\ \mathrm{eV} = 5,3\times10^{6}\cdot1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calculo numérico:
K \approx 8,49153616\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
Agora
v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 8,49153616\times10^{-13}}{1,67\times10^{-27}}} = \sqrt{1,016949\times10^{15}} \approx 3,188\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida (verificação): v\approx3,188\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} é cerca de 0,106\,c (ou seja, 10{,}6\% da velocidade da luz), então a aproximação clássica é aceitável (as correções relativísticas são pequenas aqui).

Passo 4

Agora calculamos a magnitude da força usando F=qvB. Substituindo os valores:
q = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \quad v \approx 3,188\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}, \quad B = 1,2\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
Primeiro calcule qv:
qv \approx 1,602176634\times10^{-19}\cdot 3,188\times10^{7} \approx 5,10766\times10^{-12}\\ \mathrm{C\cdot m/s}.
Agora
F = (qv)B \approx 5,10766\times10^{-12}\cdot 1,2\times10^{-3} \approx 6,12919\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com algarismos significativos razoáveis:
F \approx 6,13\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Direção da força (regra da mão direita): a força é \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}. Como o próton tem q>0, a direção é a do produto vetorial \vec{v}\times\vec{B}.
Escolho um sistema: +\hat{x} = leste, +\hat{y} = norte, +\hat{z} = cima. Então \vec{v}=+\hat{x} e \vec{B}=+\hat{z}. O produto vetorial é
\hat{x}\times\hat{z} = -\hat{y}.
Portanto a força aponta para -\hat{y}, ou seja, para o sul. (Intuitivamente: apontando o dedo indicador para leste e o dedo médio para cima, o polegar aponta para o sul.)

Resposta

\;F \approx 6{,}13\times10^{-15}\\ \mathrm{N} para o sul.

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