Considere um avião contendo 4 lugares e que os seus passageiros têm um peso médio de 70 Kg e desvio padrão 20 Kg . Foi informado a cada passageiro que suas bagagens devem ter em média 12 Kg , com desvio padrão 5 Kg . Suponha que a distribuição do peso dos passageiros e suas bagagens seja normal.
a) Se o limite de carga do avião é de 350 Kg calcular a probabilidade de não haver sobrecarga no peso do aviăo;
b) Qual deve ser o limite de carga para que se garanta, com
de confiança, que o peso de ocupaçāo do avião (passageiro e bagagens), não ultrapasse este limite?
a) Se o limite de carga do avião é de 350 Kg calcular a probabilidade de não haver sobrecarga no peso do aviăo;
b) Qual deve ser o limite de carga para que se garanta, com
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a probabilidade de que o peso total (passageiros + bagagens) de um avião com 4 lugares não ultrapasse o limite de
kg. - Determinar qual deve ser o limite de carga para garantir, com
de confiança, que o peso total (passageiros + bagagens) não ultrapasse esse limite.
Informações dadas (todas relevantes):
- Número de passageiros:
. - Peso de cada passageiro: média
kg e desvio padrão kg. - Peso da bagagem de cada passageiro: média
kg e desvio padrão kg. - Foi dito que as distribuições são normais.
- Vou assumir independência entre pesos dos diferentes passageiros e entre peso do corpo e bagagem de um mesmo passageiro (isso é padrão nesses problemas; sem independência não há informação suficiente).
Passo 2
Modelagem para um único passageiro (corpo + bagagem).
Defina
= peso do corpo de um passageiro e
= peso da bagagem desse passageiro. Pelas informações:
Para o peso total de um passageiro
, usando propriedades de esperança e variância (quando
e
são independentes):
- Esperança (média):
- Variância:
pois assumimos independência (não há termo de covariância).
Agora calculamos:
Passo 3
Peso total dos
passageiros (soma de
variáveis idênticas e independentes).
Sejam
os pesos (corpo+bagagem) dos quatro passageiros, independentemente distribuídos como
. Então o peso total
é
Propriedades de soma de normais independentes:
-
é normal (soma de normais é normal). - Média:
- Variância:
- Desvio padrão:
Resumo útil (vamos usar adiante):
Passo 4
Parte (a): calcular
.
Usamos padronização para transformar
numa normal padrão
. A padronização é:
Queremos:
Calcule o valor de
:
Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para a probabilidade acumulada até
. A função de distribuição da normal padrão dá
Interpretação: a probabilidade de não haver sobrecarga (peso total ≤ 350 kg) é aproximadamente
, ou
.
Passo 5
Parte (b): determinar o limite
tal que
.
Seja
o quantil da normal padrão tal que
. Pelo quadro de quantis:
Invertendo a padronização:
Substituindo números:
Interpretação: para que, com
de confiança, o peso total não ultrapasse o limite, deve-se fixar o limite em cerca de
kg. Em prática, como limite inteiro, recomenda-se arredondar para cima (ex.:
kg) para manter a garantia.
Resposta
a)
\
b)
b)