Considere um avião contendo 4 lugares e que os seus passageiros têm um peso médio de 70 Kg e desvio padrão 20 Kg . Foi informado a cada passageiro que suas bagagens devem ter em média 12 Kg , com desvio padrão 5 Kg . Suponha que a distribuição do peso dos passageiros e suas bagagens seja normal.
a) Se o limite de carga do avião é de 350 Kg calcular a probabilidade de não haver sobrecarga no peso do aviăo;
b) Qual deve ser o limite de carga para que se garanta, com 99 \% de confiança, que o peso de ocupaçāo do avião (passageiro e bagagens), não ultrapasse este limite?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a probabilidade de que o peso total (passageiros + bagagens) de um avião com 4 lugares não ultrapasse o limite de 350 kg.
  2. Determinar qual deve ser o limite de carga para garantir, com 99\% de confiança, que o peso total (passageiros + bagagens) não ultrapasse esse limite.
Informações dadas (todas relevantes):
  • Número de passageiros: 4.
  • Peso de cada passageiro: média \mu_{\text{corpo}} = 70 kg e desvio padrão \sigma_{\text{corpo}} = 20 kg.
  • Peso da bagagem de cada passageiro: média \mu_{\text{mala}} = 12 kg e desvio padrão \sigma_{\text{mala}} = 5 kg.
  • Foi dito que as distribuições são normais.
  • Vou assumir independência entre pesos dos diferentes passageiros e entre peso do corpo e bagagem de um mesmo passageiro (isso é padrão nesses problemas; sem independência não há informação suficiente).

Passo 2

Modelagem para um único passageiro (corpo + bagagem).
Defina X = peso do corpo de um passageiro e Y = peso da bagagem desse passageiro. Pelas informações:
E[X]=70,\quad \operatorname{sd}(X)=20,\quad E[Y]=12,\quad \operatorname{sd}(Y)=5.
Para o peso total de um passageiro Z=X+Y, usando propriedades de esperança e variância (quando X e Y são independentes):
  • Esperança (média):
E[Z]=E[X+Y]=E[X]+E[Y].
  • Variância:
\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y),
pois assumimos independência (não há termo de covariância).
Agora calculamos:
E[Z]=70+12=82\\ \text{kg}.
\operatorname{Var}(Z)=20^{2}+5^{2}=400+25=425\\ \text{(kg)}^{2}.
\operatorname{sd}(Z)=\sqrt{425}\approx 20,6155\\ \text{kg}.

Passo 3

Peso total dos 4 passageiros (soma de 4 variáveis idênticas e independentes).
Sejam Z_1,Z_2,Z_3,Z_4 os pesos (corpo+bagagem) dos quatro passageiros, independentemente distribuídos como Z. Então o peso total T é
T=\sum_{i=1}^{4} Z_i.
Propriedades de soma de normais independentes:
  • T é normal (soma de normais é normal).
  • Média:
E[T]=\sum_{i=1}^{4}E[Z_i]=4\cdot E[Z]=4\cdot 82=328\\ \text{kg}.
  • Variância:
\operatorname{Var}(T)=\sum_{i=1}^{4}\operatorname{Var}(Z_i)=4\cdot 425=1700\\ \text{(kg)}^{2}.
  • Desvio padrão:
\operatorname{sd}(T)=\sqrt{1700}=10\sqrt{17}\approx 41,2311\\ \text{kg}.
Resumo útil (vamos usar adiante):
T\sim N\bigl(328,\;1700\bigr),\qquad \operatorname{sd}(T)\approx 41,2311.

Passo 4

Parte (a): calcular P(T\le 350).
Usamos padronização para transformar T numa normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização é:
Z=\frac{T-E[T]}{\operatorname{sd}(T)}=\frac{T-328}{\sqrt{1700}}.
Queremos:
P(T\le 350)=P\!\left(\frac{T-328}{\sqrt{1700}}\le \frac{350-328}{\sqrt{1700}}\right) = P\!\left(Z\le \frac{22}{\sqrt{1700}}\right).
Calcule o valor de z:
\frac{22}{\sqrt{1700}}=\frac{22}{41,2311}\approx 0,533.
Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para a probabilidade acumulada até z\approx 0,533. A função de distribuição da normal padrão dá
P(Z\le 0,533)\approx 0,702.
Interpretação: a probabilidade de não haver sobrecarga (peso total ≤ 350 kg) é aproximadamente 0,702, ou 70{,}2\%.

Passo 5

Parte (b): determinar o limite L tal que P(T\le L)=0{,}99.
Seja z_{0,99} o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{0,99})=0{,}99. Pelo quadro de quantis:
z_{0,99}\approx 2{,}3263.
Invertendo a padronização:
L = E[T] + z_{0,99}\cdot \operatorname{sd}(T).
Substituindo números:
L = 328 + 2{,}3263\cdot 41{,}2311 \approx 328 + 95{,}9 \approx 423{,}9\\ \text{kg}.
Interpretação: para que, com 99\% de confiança, o peso total não ultrapasse o limite, deve-se fixar o limite em cerca de 423{,}9 kg. Em prática, como limite inteiro, recomenda-se arredondar para cima (ex.: 424 kg) para manter a garantia.

Resposta

a) 0,702 \
b) 423,9\\ \text{kg}

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