(8 pontos) Uma empresa de alimentos afirma que a média de sódio por porção de seus novos biscoitos integrais é de \mu=150 \mathrm{mg}, com um desvio padrão \sigma=20 \mathrm{mg}. Um nutricionista suspeita que a informação não está correta e decide testar essa afirmação. Para tanto, ele coletou uma amostra aleatória de n=100 biscoitos e encontrou uma média de 155 mg de sódio por porção. Usando um nível de significância de 5 \%, realize um teste de hipóteses bilateral, respondendo os itens a seguir:
a.(1,5 pt) Formule as hipóteses nula ( H_{0} ) e alternativa ( H_{1} ).
b.(1,5 pt) Calcule a estatística de teste (valor calculado).
c.(1,5 pt) Faça um desenho ilustrativo da região crítica.
d.(1,5 pt) Determine o valor-p para este teste.
e.(2 pt) Com base no valor-p obtido e no nível de significância considerado, qual conclusão você pode tirar sobre a afirmação da empresa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas:
  • Informação da empresa: média de sódio por porção \mu=150 mg (afirmação a ser testada).
  • Desvio padrão populacional assumido conhecido: \sigma=20 mg.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Média amostral observada: \bar{x}=155 mg.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
    Perguntas pedidas:
    a. Formular H_0 e H_1.
    b. Calcular a estatística de teste.
    c. Fazer um desenho/ilustração da região crítica.
    d. Determinar o valor-p.
    e. Concluir, com base no valor-p e em \alpha, sobre a afirmação da empresa.

Passo 2

Formulação das hipóteses (resposta do item a) e significado delas.
  • A hipótese nula é a afirmação que queremos testar (normalmente a afirmação da empresa):
H_0: \mu = 150.
  • O nutricionista suspeita que a média não é 150 (pode ser maior ou menor), então a hipótese alternativa é bilateral:
H_1: \mu \neq 150.
Significado: sob H_0 assumimos que a média verdadeira é 150 mg; H_1 diz que a média é diferente de 150 mg (poderá ser maior ou menor).

Passo 3

Escolha do teste e cálculo da estatística (resposta do item b), com explicação didática.
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, usamos o teste-z para a média. A estatística de teste padroniza a diferença entre a média amostral e o valor hipotetizado dividindo pelo erro padrão.
  • Definições:
    • \bar{x} = média amostral (aqui \bar{x}=155).
    • \mu_0 = média sob H_0 (aqui \mu_0=150).
    • \sigma = desvio padrão populacional (aqui \sigma=20).
    • n = tamanho da amostra (aqui n=100).
    • Erro padrão da média: \displaystyle \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Calculemos passo a passo: \text{SE}=\frac{20}{\sqrt{100}}=\frac{20}{10}=2 \text{ mg}.
z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\text{SE}} \;=\; \frac{155-150}{2} \;=\; \frac{5}{2} \;=\; 2{,}5.
Portanto a estatística de teste é \;z=2{,}5.

Passo 4

Desenho ilustrativo da região crítica (resposta do item c) e interpretação numérica.
  • Para um teste bilateral com \alpha=0{,}05, dividimos \alpha em duas caudas iguais: \alpha/2=0{,}025 em cada cauda. As estatísticas críticas da normal padrão são aproximadamente \pm z_{0{,}025}=\pm1{,}96.
  • Região de rejeição: rejeitar H_0 se |z|>1{,}96.
  • Ilustração conceitual (curva normal padrão, valores críticos marcados):
    N(0,1) curva: … [----|----0----|----] …
    onde os pontos -1{,}96 e +1{,}96 estão nas bordas; as áreas além desses pontos (caudas extremas) são rejeição.
  • Podemos também transformar esses limites em médias amostrais críticas: \bar{x}_\text{crítico}=\mu_0 \pm z_{0{,}025}\cdot\text{SE} =150 \pm 1{,}96\cdot 2 = 150 \pm 3{,}92.íPortanto o intervalo de não-rejeição em termos de \bar{x} é aproximadamente 150-3{,}92=146{,}08 \quad\text{até}\quad 150+3{,}92=153{,}92.é
  • Como a média amostral observada é \bar{x}=155, ela está fora da região de não-rejeição (acima de 153{,}92), então está na região crítica (lado direito).

Passo 5

Cálculo do valor-p (resposta do item d) e interpretação do que o valor-p significa.
  • Para um teste bilateral, o valor-p é duas vezes a probabilidade de observar um valor absoluto de z tão extremo quanto o observado sob H_0: p = 2\big(1-\Phi(|z|)\big),onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Aqui z=2{,}5. Usando tabela ou tabela de normal padrão: \Phi(2{,}5)\approx 0{,}9938.Logo p = 2\big(1-0{,}9938\big)=2(0{,}0062)=0{,}0124.
  • Interpretação prática: sob H_0 (média realmente 150 mg), a probabilidade de obter uma média amostral tão distante (ou mais) da hipótese quanto a observada é cerca de 1{,}24\%. Isso é relativamente pequeno.

Passo 6

Conclusão (resposta do item e) comparando o valor-p com \alpha e interpretando para a afirmação da empresa.
  • Critério: rejeitamos H_0 se p<\alpha.
  • Aqui p\approx0{,}0124 e \alpha=0{,}05. Como 0{,}0124<0{,}05, rejeitamos H_0.
  • Interpretação final: com significância de 5\%, há evidência estatística suficiente para concluir que a média de sódio por porção NÃO é 150 mg. A média amostral foi maior ( 155 mg), então há indício de que, na prática, o teor médio de sódio é maior do que o declarado pela empresa. Em linguagem do dia a dia: a afirmação da empresa não se sustenta com os dados da amostra — os biscoitos parecem ter, em média, mais sódio do que 150 mg.
  • Observação de incentivo: isso significa que o nutricionista tem evidência para suspeitar — ótimo trabalho por ter coletado uma amostra grande; é exatamente esse tipo de evidência que usamos para questionar afirmações!

Resposta

a. H_0: \mu=150 \;,\; H_1: \mu\neq150
b. z=2{,}5
c. Região crítica: rejeitar H_0 se |z|>1{,}96 (equivalente a \bar{x}<146{,}08 ou \bar{x}>153{,}92); \bar{x}=155 está na região de rejeição.
d. p\approx0{,}0124
e. Como p<0{,}05, rejeitamos H_0. Conclusão: há evidência estatística de que a média de sódio difere de 150 mg — a amostra sugere que a média é maior que 150 mg.

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