(8 pontos) Uma empresa de alimentos afirma que a média de sódio por porção de seus novos biscoitos integrais é de
, com um desvio padrão
. Um nutricionista suspeita que a informação não está correta e decide testar essa afirmação. Para tanto, ele coletou uma amostra aleatória de
biscoitos e encontrou uma média de 155 mg de sódio por porção. Usando um nível de significância de
, realize um teste de hipóteses bilateral, respondendo os itens a seguir:
a.(1,5 pt) Formule as hipóteses nula (
) e alternativa (
).
b.(1,5 pt) Calcule a estatística de teste (valor calculado).
c.(1,5 pt) Faça um desenho ilustrativo da região crítica.
d.(1,5 pt) Determine o valor-p para este teste.
e.(2 pt) Com base no valor-p obtido e no nível de significância considerado, qual conclusão você pode tirar sobre a afirmação da empresa?
a.(1,5 pt) Formule as hipóteses nula (
b.(1,5 pt) Calcule a estatística de teste (valor calculado).
c.(1,5 pt) Faça um desenho ilustrativo da região crítica.
d.(1,5 pt) Determine o valor-p para este teste.
e.(2 pt) Com base no valor-p obtido e no nível de significância considerado, qual conclusão você pode tirar sobre a afirmação da empresa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas:
- Informação da empresa: média de sódio por porção
mg (afirmação a ser testada). - Desvio padrão populacional assumido conhecido:
mg. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
mg. - Nível de significância:
.
Perguntas pedidas:
a. Formulare .
b. Calcular a estatística de teste.
c. Fazer um desenho/ilustração da região crítica.
d. Determinar o valor-p.
e. Concluir, com base no valor-p e em, sobre a afirmação da empresa.
Passo 2
Formulação das hipóteses (resposta do item a) e significado delas.
- A hipótese nula é a afirmação que queremos testar (normalmente a afirmação da empresa):
- O nutricionista suspeita que a média não é 150 (pode ser maior ou menor), então a hipótese alternativa é bilateral:
Significado: sob
assumimos que a média verdadeira é
mg;
diz que a média é diferente de
mg (poderá ser maior ou menor).
Passo 3
Escolha do teste e cálculo da estatística (resposta do item b), com explicação didática.
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido, usamos o teste-z para a média. A estatística de teste padroniza a diferença entre a média amostral e o valor hipotetizado dividindo pelo erro padrão. - Definições:
-
= média amostral (aqui ). -
= média sob (aqui ). -
= desvio padrão populacional (aqui ). -
= tamanho da amostra (aqui ). - Erro padrão da média:
.
-
- Calculemos passo a passo:
Portanto a estatística de teste é
.
Passo 4
Desenho ilustrativo da região crítica (resposta do item c) e interpretação numérica.
- Para um teste bilateral com
, dividimos em duas caudas iguais: em cada cauda. As estatísticas críticas da normal padrão são aproximadamente . - Região de rejeição: rejeitar
se . - Ilustração conceitual (curva normal padrão, valores críticos marcados):
N(0,1) curva: … [----|----0----|----] …
onde os pontose estão nas bordas; as áreas além desses pontos (caudas extremas) são rejeição. - Podemos também transformar esses limites em médias amostrais críticas:
Portanto o intervalo de não-rejeição em termos de é aproximadamente - Como a média amostral observada é
, ela está fora da região de não-rejeição (acima de ), então está na região crítica (lado direito).
Passo 5
Cálculo do valor-p (resposta do item d) e interpretação do que o valor-p significa.
- Para um teste bilateral, o valor-p é duas vezes a probabilidade de observar um valor absoluto de
tão extremo quanto o observado sob : onde é a função de distribuição acumulada da normal padrão. - Aqui
. Usando tabela ou tabela de normal padrão: Logo - Interpretação prática: sob
(média realmente mg), a probabilidade de obter uma média amostral tão distante (ou mais) da hipótese quanto a observada é cerca de . Isso é relativamente pequeno.
Passo 6
Conclusão (resposta do item e) comparando o valor-p com
e interpretando para a afirmação da empresa.
- Critério: rejeitamos
se . - Aqui
e . Como , rejeitamos . - Interpretação final: com significância de
, há evidência estatística suficiente para concluir que a média de sódio por porção NÃO é mg. A média amostral foi maior ( mg), então há indício de que, na prática, o teor médio de sódio é maior do que o declarado pela empresa. Em linguagem do dia a dia: a afirmação da empresa não se sustenta com os dados da amostra — os biscoitos parecem ter, em média, mais sódio do que mg. - Observação de incentivo: isso significa que o nutricionista tem evidência para suspeitar — ótimo trabalho por ter coletado uma amostra grande; é exatamente esse tipo de evidência que usamos para questionar afirmações!
Resposta
a.
b.
c. Região crítica: rejeitar se
(equivalente a
ou
);
está na região de rejeição.
d.
e. Como , rejeitamos
. Conclusão: há evidência estatística de que a média de sódio difere de
mg — a amostra sugere que a média é maior que
mg.
b.
c. Região crítica: rejeitar
d.
e. Como