(
pontos) Considere dois investimentos 1 e 2 e sejam
e
as variáveis aleatórias que representam o retorno anual (em %) de suas respectivas ações. Seja
o retorno total da carteira, dado pela seguinte combinação linear desses dois investimentos,
em que 0,7 e 0,3 correspondem às proporções do capital investido em cada ativo da carteira. Admita que:
- Os retornos anuais dos dois investimentos são independentes;
-
e
.
Pede-se:
a. (4 pt) Qual é a distribuição de probabilidade de
? Justifique sua resposta.
b. ( 4 pt) Calcule a probabilidade de o retorno total estar entre
e
.
a. (4 pt) Qual é a distribuição de probabilidade de
b. ( 4 pt) Calcule a probabilidade de o retorno total estar entre
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a distribuição de probabilidade de
, sabendo que e que e são independentes com e . - (b) Calcular a probabilidade de o retorno total ficar entre
e , isto é, calcular .
Informações relevantes dadas:
- Proporções do capital:
em e em . - Independência:
e são independentes. - Distribuições marginais:
(média , variância ) e (média , variância ).
Passo 2
Conceito e fórmula útil (explicadinho): uma combinação linear de variáveis aleatórias normais é também normal. Mais precisamente, se
e
são normais (ou, em geral, se o vetor
é multinormal), então qualquer combinação linear
é normal. Para caracterizar essa normal precisamos da média e da variância de
.
Fórmulas (e o que significam):
- A média de
é
onde
é a média de
.
- A variância de
é, em geral,
Se
e
são independentes, então
, e a fórmula simplifica para
Vou aplicar essas fórmulas com
e
. (Isso é tudo que precisamos para declarar a distribuição de
.)
Passo 3
Cálculo da média de
.
Usando
e as médias dadas
e
:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 4
Cálculo da variância de
.
Como
e
são independentes, usamos
Substituindo
e
:
Calcule cada termo:
Somando:
Desvio-padrão:
Passo 5
Concluir a distribuição (resposta da parte a).
Pelo que vimos (combinação linear de normais e cálculo de média/variância), temos
ou seja, média
e variância
.
Passo 6
Transformação para a Normal padrão para calcular a probabilidade pedida.
Queremos
. Primeiro convertemos para a normal padrão
com média
e variância
usando
Portanto
Calcule as duas bordas (os z-scores):
Passo 7
Uso da função de distribuição da normal padrão
para obter a probabilidade.
A probabilidade procurada é
Usando valores da tabela da normal padrão (ou calculadora):
Logo
Interpretação rápida: cerca de
de chance de o retorno da carteira cair entre
e
. Força aí — não é tão ruim quanto parece!