( \mathbf{8} pontos) Considere dois investimentos 1 e 2 e sejam X_{1} e X_{2} as variáveis aleatórias que representam o retorno anual (em %) de suas respectivas ações. Seja Y o retorno total da carteira, dado pela seguinte combinação linear desses dois investimentos,
Y=0,7 X_{1}+0,3 X_{2}
em que 0,7 e 0,3 correspondem às proporções do capital investido em cada ativo da carteira. Admita que:
  • Os retornos anuais dos dois investimentos são independentes;
  • X_{1} \sim \mathrm{~N}(5,4) e X_{2} \sim \mathrm{~N}(8,9).
Pede-se:
a. (4 pt) Qual é a distribuição de probabilidade de Y ? Justifique sua resposta.
b. ( 4 pt) Calcule a probabilidade de o retorno total estar entre 7 \% e 8 \%.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a distribuição de probabilidade de Y, sabendo que Y=0,7X_{1}+0,3X_{2} e que X_{1} e X_{2} são independentes com X_{1}\sim\mathrm{N}(5,4) e X_{2}\sim\mathrm{N}(8,9).
  • (b) Calcular a probabilidade de o retorno total ficar entre 7\% e 8\%, isto é, calcular \mathbb{P}(7\%\le Y\le 8\%).
Informações relevantes dadas:
  • Proporções do capital: 0,7 em X_{1} e 0,3 em X_{2}.
  • Independência: X_{1} e X_{2} são independentes.
  • Distribuições marginais: X_{1}\sim\mathrm{N}(5,4) (média 5, variância 4) e X_{2}\sim\mathrm{N}(8,9) (média 8, variância 9).

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicadinho): uma combinação linear de variáveis aleatórias normais é também normal. Mais precisamente, se X_{1} e X_{2} são normais (ou, em geral, se o vetor (X_{1},X_{2}) é multinormal), então qualquer combinação linear
Y=aX_{1}+bX_{2}
é normal. Para caracterizar essa normal precisamos da média e da variância de Y.
Fórmulas (e o que significam):
  • A média de Y é
\mu_Y = \mathbb{E}[Y]=a\,\mathbb{E}[X_{1}]+b\,\mathbb{E}[X_{2}],
onde \mathbb{E}[X_{i}] é a média de X_{i}.
  • A variância de Y é, em geral,
\mathrm{Var}(Y)=a^{2}\mathrm{Var}(X_{1})+b^{2}\mathrm{Var}(X_{2})+2ab\,\mathrm{Cov}(X_{1},X_{2}).
Se X_{1} e X_{2} são independentes, então \mathrm{Cov}(X_{1},X_{2})=0, e a fórmula simplifica para
\mathrm{Var}(Y)=a^{2}\mathrm{Var}(X_{1})+b^{2}\mathrm{Var}(X_{2}).
Vou aplicar essas fórmulas com a=0,7 e b=0,3. (Isso é tudo que precisamos para declarar a distribuição de Y.)

Passo 3

Cálculo da média de Y.
Usando \mu_Y = 0,7\cdot\mathbb{E}[X_{1}]+0,3\cdot\mathbb{E}[X_{2}] e as médias dadas \mathbb{E}[X_{1}]=5 e \mathbb{E}[X_{2}]=8:
\mu_Y = 0,7\cdot 5 + 0,3\cdot 8.
Calcule passo a passo:
0,7\cdot 5 = 3,5,
0,3\cdot 8 = 2,4,
logo
\mu_Y = 3,5 + 2,4 = 5,9.

Passo 4

Cálculo da variância de Y.
Como X_{1} e X_{2} são independentes, usamos
\mathrm{Var}(Y)=0,7^{2}\,\mathrm{Var}(X_{1}) + 0,3^{2}\,\mathrm{Var}(X_{2}).
Substituindo \mathrm{Var}(X_{1})=4 e \mathrm{Var}(X_{2})=9:
\mathrm{Var}(Y)=0,7^{2}\cdot 4 + 0,3^{2}\cdot 9.
Calcule cada termo:
0,7^{2}=0,49,\quad 0,49\cdot 4 = 1,96,
0,3^{2}=0,09,\quad 0,09\cdot 9 = 0,81.
Somando:
\mathrm{Var}(Y)=1,96 + 0,81 = 2,77.
Desvio-padrão:
\sigma_Y = \sqrt{\mathrm{Var}(Y)}=\sqrt{2,77}\approx 1,663.

Passo 5

Concluir a distribuição (resposta da parte a).
Pelo que vimos (combinação linear de normais e cálculo de média/variância), temos
Y \sim \mathrm{N}\bigl(5,9,\;2,77\bigr),
ou seja, média \mu_Y=5,9 e variância \sigma_Y^{2}=2,77.

Passo 6

Transformação para a Normal padrão para calcular a probabilidade pedida.
Queremos \mathbb{P}(7\%\le Y\le 8\%). Primeiro convertemos para a normal padrão Z com média 0 e variância 1 usando
Z=\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}.
Portanto
\mathbb{P}(7\le Y\le 8)=\mathbb{P}\!\left(\frac{7-5,9}{\sqrt{2,77}}\le Z\le \frac{8-5,9}{\sqrt{2,77}}\right).
Calcule as duas bordas (os z-scores):
z_1=\frac{7-5,9}{\sqrt{2,77}}=\frac{1,1}{\sqrt{2,77}}\approx\frac{1,1}{1,663}\approx 0,662,
z_2=\frac{8-5,9}{\sqrt{2,77}}=\frac{2,1}{\sqrt{2,77}}\approx\frac{2,1}{1,663}\approx 1,263.

Passo 7

Uso da função de distribuição da normal padrão \Phi para obter a probabilidade.
A probabilidade procurada é
\mathbb{P}(7\le Y\le 8)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1).
Usando valores da tabela da normal padrão (ou calculadora):
\Phi(0,662)\approx 0,746\quad\text{e}\quad \Phi(1,263)\approx 0,897.
Logo
\mathbb{P}(7\le Y\le 8)\approx 0,897 - 0,746 = 0,151.
Interpretação rápida: cerca de 15{,}1\% de chance de o retorno da carteira cair entre 7\% e 8\%. Força aí — não é tão ruim quanto parece!

Resposta

Y\sim\mathrm{N}\bigl(5,9,\;2,77\bigr)
\mathbb{P}(7\%\le Y\le 8\%)\approx 0,151

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