Considere um avião em vôo horizontal, a uma altura h em relação ao solo, com velocidade constante v, afastando-se de um observador A que se encontra em terra firme. Seja \theta a elevação angular do avião, em relação ao solo, a partir do observador. Determine, como função de \theta, a taxa de variação de \theta em relação ao tempo.
Resposta. \frac{d \theta}{d t}=-\frac{v}{h} \theta.

Passo 1

O enunciado dá um avião voando horizontalmente a uma altura constante h acima do solo, afastando-se de um observador A no solo com velocidade constante v. A elevação angular medida pelo observador é \theta=\theta(t).
Pergunta: determinar \dfrac{d\theta}{dt} como função de \theta.
Informações relevantes dadas:
  • h é constante (altura do avião).
  • v é a velocidade horizontal constante do avião (o avião se afasta, logo a distância horizontal aumenta).
  • \theta é a função do tempo que representa o ângulo de elevação visto por A.

Passo 2

Definimos uma variável auxiliar para traduzir a geometria: seja x=x(t) a distância horizontal no solo entre o observador A e o ponto diretamente abaixo do avião. Pela figura e trigonometria do triângulo retângulo formado,
\tan(\theta)=\frac{h}{x}.
Observação sobre sinais e velocidade: como o avião se afasta, x cresce com o tempo, então
\frac{dx}{dt}=v.
Aqui definimos claramente x e por que \dfrac{dx}{dt}=v.

Passo 3

Escolho derivar a relação numa forma que deixa a aplicação da regra da cadeia bem direta. Reescrevo x em função de \theta usando cotangente:
x=h\cot(\theta).
Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo t. Lembrete rápido sobre derivadas usadas:
  • Regra da cadeia: se y=f(u(t)) então \dfrac{dy}{dt}=f'(u)\dfrac{du}{dt}.
  • Derivada da função \cot(u) em relação a u é \dfrac{d}{du}\cot(u)=-\csc^2(u), onde \csc(u)=1/\sin(u).
Aplicando a derivação a x=h\cot(\theta(t)):
\frac{dx}{dt}=h\cdot\frac{d}{dt}\big(\cot(\theta)\big) = h\cdot\big(-\csc^2(\theta)\big)\cdot\frac{d\theta}{dt}.
Portanto,
\frac{dx}{dt} = -h\,\csc^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

Agora substituímos \dfrac{dx}{dt}=v (pois o avião se afasta com velocidade v) na equação do passo anterior e isolamos \dfrac{d\theta}{dt}:
v = -h\,\csc^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.
Isolando \dfrac{d\theta}{dt},
\frac{d\theta}{dt} = -\frac{v}{h}\,\frac{1}{\csc^2(\theta)}.
Recordando que \csc^2(\theta)=\dfrac{1}{\sin^2(\theta)}, temos 1/\csc^2(\theta)=\sin^2(\theta). Assim
\frac{d\theta}{dt} = -\frac{v}{h}\,\sin^2(\theta).

Passo 5

Interpretação e confirmação alternativa (curtinha): o sinal negativo mostra que \theta está decrescendo — faz sentido, porque à medida que o avião se afasta o ângulo de elevação diminui. Se quisermos, podemos derivar a mesma expressão partindo de \tan(\theta)=h/x e usando \dfrac{d}{dt}\tan(\theta)=\operatorname{sec}^2(\theta)\dfrac{d\theta}{dt}; o resultado é o mesmo depois de manipular identidades trigonométricas. Para ângulos pequenos ( \theta pequeno em radianos) pode-se aproximar \sin\theta\approx\theta, então \dfrac{d\theta}{dt}\approx -\dfrac{v}{h}\theta^2 (atenção: isso NÃO dá -\dfrac{v}{h}\theta, portanto a resposta que você mostrou no enunciado está incorreta; a expressão exata é a que encontramos).

Resposta

\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=-\frac{v}{h}\sin^{2}\theta

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