Considere um avião em vôo horizontal, a uma altura
em relação ao solo, com velocidade constante
, afastando-se de um observador
que se encontra em terra firme. Seja
a elevação angular do avião, em relação ao solo, a partir do observador. Determine, como função de
, a taxa de variação de
em relação ao tempo.
Resposta.
.
Resposta.
Passo 1
O enunciado dá um avião voando horizontalmente a uma altura constante
acima do solo, afastando-se de um observador
no solo com velocidade constante
. A elevação angular medida pelo observador é
.
Pergunta: determinar como função de
.
Informações relevantes dadas:
Pergunta: determinar
Informações relevantes dadas:
-
é constante (altura do avião). -
é a velocidade horizontal constante do avião (o avião se afasta, logo a distância horizontal aumenta). -
é a função do tempo que representa o ângulo de elevação visto por .
Passo 2
Definimos uma variável auxiliar para traduzir a geometria: seja
a distância horizontal no solo entre o observador
e o ponto diretamente abaixo do avião. Pela figura e trigonometria do triângulo retângulo formado,
Observação sobre sinais e velocidade: como o avião se afasta,
cresce com o tempo, então
Aqui definimos claramente
e por que
.
Passo 3
Escolho derivar a relação numa forma que deixa a aplicação da regra da cadeia bem direta. Reescrevo
em função de
usando cotangente:
Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo
. Lembrete rápido sobre derivadas usadas:
- Regra da cadeia: se
então . - Derivada da função
em relação a é , onde .
Aplicando a derivação a
:
Portanto,
Passo 4
Agora substituímos
(pois o avião se afasta com velocidade
) na equação do passo anterior e isolamos
:
Isolando
,
Recordando que
, temos
. Assim
Passo 5
Interpretação e confirmação alternativa (curtinha): o sinal negativo mostra que
está decrescendo — faz sentido, porque à medida que o avião se afasta o ângulo de elevação diminui. Se quisermos, podemos derivar a mesma expressão partindo de
e usando
; o resultado é o mesmo depois de manipular identidades trigonométricas. Para ângulos pequenos (
pequeno em radianos) pode-se aproximar
, então
(atenção: isso NÃO dá
, portanto a resposta que você mostrou no enunciado está incorreta; a expressão exata é a que encontramos).