Lembre que um cone de altura h cuja base é circular e de raio r possui volume dado por
V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h .
Calcule a taxa de variação do volume do cone em relação ao tempo quando o raio mede 5 m, a altura mede 5 m, o raio está aumentando a uma taxa de 1 m / s e a altura está decrescendo a uma taxa de 1 \mathrm{~m} / \\\.s.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a taxa de variação do volume do cone em relação ao tempo, isto é \dfrac{dV}{dt}, no instante em que o raio vale 5\\ \mathrm{m} e a altura vale 5\\ \mathrm{m}, dado que o raio está aumentando a 1\\ \mathrm{m/s} e a altura está decrescendo a 1\\ \mathrm{m/s}.
Informações fornecidas (vou escrever cada uma claramente):
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h
r=5\\ \mathrm{m}
h=5\\ \mathrm{m}
\frac{dr}{dt}=1\\ \mathrm{m/s}
\frac{dh}{dt}=-1\\ \mathrm{m/s}
Observação: escrevi \dfrac{dh}{dt}=-1\\ \mathrm{m/s} porque "altura decrescendo a uma taxa de 1\\ \mathrm{m/s}" significa que a altura diminui, logo a derivada temporal é negativa.

Passo 2

Relembrando a fórmula e o que cada símbolo representa:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
Aqui V é o volume (em \mathrm{m}^3), r é o raio da base (em \mathrm{m}), h é a altura do cone (em \mathrm{m}). A constante \pi é a conhecida razão entre circunferência e diâmetro. Queremos saber como V muda no tempo, ou seja \dfrac{dV}{dt}, quando r e h também variam com t.

Passo 3

Como diferenciar V em relação ao tempo: usamos diferenciação implícita e a regra do produto. A fórmula tem um produto entre r^{2} e h. A regra do produto diz, para funções u(t) e v(t),
\frac{d}{dt}[u(t)v(t)] = u'(t)v(t) + u(t)v'(t).
Aplicando com u(t)=r(t)^2 e v(t)=h(t), obtemos
\frac{d}{dt}\big(r^{2}h\big)=\frac{d}{dt}(r^{2})\cdot h + r^{2}\cdot\frac{dh}{dt}.
Além disso, para \frac{d}{dt}(r^{2}) usamos a regra da cadeia (ou a regra de potência): se r depende de t, então
\frac{d}{dt}(r^{2}) = 2r\frac{dr}{dt}.
Isso significa que, ao diferenciar V,
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\left(2r\frac{dr}{dt}\cdot h + r^{2}\frac{dh}{dt}\right).
Expliquei cada passo: regra do produto para r^{2}h e regra da cadeia para r^{2}.

Passo 4

Escrevendo a expressão simplificada para \dfrac{dV}{dt}:
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\Big(2r h\frac{dr}{dt} + r^{2}\frac{dh}{dt}\Big).
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular o valor numérico, substituindo os dados do enunciado.

Passo 5

Substituindo os valores r=5, h=5, \dfrac{dr}{dt}=1, \dfrac{dh}{dt}=-1:
Calcule cada termo dentro dos parênteses:
2r h\frac{dr}{dt} = 2\cdot 5\cdot 5\cdot 1 = 50,
r^{2}\frac{dh}{dt} = 5^{2}\cdot(-1) = 25\cdot(-1) = -25.
Somando-os:
50 + (-25) = 25.
Agora multiplica pela constante \dfrac{1}{3}\pi:
\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 = \frac{25}{3}\pi.

Passo 6

Unidades e interpretação: como V está em \mathrm{m}^3 e tempo em \mathrm{s}, a taxa tem unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O resultado positivo significa que, apesar da altura estar diminuindo, o aumento do raio é suficientemente grande para que o volume do cone aumente naquele instante.

Resposta

\dfrac{25}{3}\pi\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados