Lembre que um cone de altura
cuja base é circular e de raio
possui volume dado por
Calcule a taxa de variação do volume do cone em relação ao tempo quando o raio mede
, a altura mede
, o raio está aumentando a uma taxa de
e a altura está decrescendo a uma taxa de
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a taxa de variação do volume do cone em relação ao tempo, isto é
, no instante em que o raio vale
e a altura vale
, dado que o raio está aumentando a
e a altura está decrescendo a
.
Informações fornecidas (vou escrever cada uma claramente):
Observação: escrevi
porque "altura decrescendo a uma taxa de
" significa que a altura diminui, logo a derivada temporal é negativa.
Passo 2
Relembrando a fórmula e o que cada símbolo representa:
Aqui
é o volume (em
),
é o raio da base (em
),
é a altura do cone (em
). A constante
é a conhecida razão entre circunferência e diâmetro. Queremos saber como
muda no tempo, ou seja
, quando
e
também variam com
.
Passo 3
Como diferenciar
em relação ao tempo: usamos diferenciação implícita e a regra do produto. A fórmula tem um produto entre
e
. A regra do produto diz, para funções
e
,
Aplicando com
e
, obtemos
Além disso, para
usamos a regra da cadeia (ou a regra de potência): se
depende de
, então
Isso significa que, ao diferenciar
,
Expliquei cada passo: regra do produto para
e regra da cadeia para
.
Passo 4
Escrevendo a expressão simplificada para
:
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular o valor numérico, substituindo os dados do enunciado.
Passo 5
Substituindo os valores
,
,
,
:
Calcule cada termo dentro dos parênteses:
Calcule cada termo dentro dos parênteses:
Somando-os:
Agora multiplica pela constante
:
Passo 6
Unidades e interpretação: como
está em
e tempo em
, a taxa tem unidade
. O resultado positivo significa que, apesar da altura estar diminuindo, o aumento do raio é suficientemente grande para que o volume do cone aumente naquele instante.