(Gradiente e direção de crescimento) Seja f(x, y)=x^{2}+3 y^{2}.
Determine a direção de crescimento mais rápido no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+3y^{2} e pede a direção de crescimento mais rápido (direção de maior aumento de f) no ponto (1,1).\n
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+3y^{2}.
  • O ponto onde queremos a direção é (1,1).
  • Precisamos encontrar a direção (vetor) em que f cresce mais rapidamente nesse ponto.

Passo 2

Vou recordar um conceito fundamental que usamos aqui: o gradiente e a derivada direcional. Isso é a “ferramenta” que a prova costuma pedir quando perguntam a direção de crescimento mais rápido.\n
Definição do gradiente: para uma função f(x,y) diferenciável, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
O gradiente aponta na direção de maior crescimento local de f e seu comprimento \|\nabla f\| é a taxa máxima de aumento por unidade de comprimento.\n
Derivada direcional: se u é um vetor unitário (isto é, \|u\|=1), a derivada de f na direção de u é
D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para qualquer vetor unitário u temos
\nabla f(x,y)\cdot u \le \|\nabla f(x,y)\|\cdot\|u\| = \|\nabla f(x,y)\|.
A igualdade ocorre exatamente quando u tem a mesma direção de \nabla f(x,y). Portanto, a direção de crescimento mais rápido é a direção do vetor \nabla f(x,y); se quiser um vetor unitário, normalizamos o gradiente.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+3y^{2}. Vou fazer passo a passo e explicar por que cada derivada fica assim.\n
  • Derivada parcial em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x porque a potência desce como regra d(x^{n})/dx = n x^{n-1}. O termo 3y^{2} é tratado como constante quando derivamos em x, então sua derivada parcial em relação a x é 0.\n
  • Derivada parcial em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=3\cdot 2y=6y pelo mesmo motivo (regra da potência e constante multiplicativa). O termo x^{2} é constante em relação a y, então sua derivada parcial é 0.\n
    Portanto,
\nabla f(x,y)=\left(2x,\;6y\right).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,1). Substituímos x=1 e y=1 na expressão do gradiente:
\nabla f(1,1)=\left(2\cdot 1,\;6\cdot 1\right)=(2,6).
Esse vetor (2,6) aponta na direção de crescimento mais rápido em (1,1). Se na prova pedirem “a direção”, esse é o vetor-direção. Se pedirem “a direção unitária” (normalizada), precisamos dividir pelo comprimento do vetor.

Passo 5

Calculemos o comprimento (norma) do vetor \nabla f(1,1)=(2,6). A norma eu calculo com a fórmula da distância euclidiana:
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}.
Podemos simplificar \sqrt{40}=2\sqrt{10}. Para obter o vetor unitário na direção de maior crescimento, dividimos o gradiente pela sua norma:
u=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{40}}=\frac{(2,6)}{\sqrt{40}}.
Simplificando a fração, observe que (2,6)=2(1,3) e \sqrt{40}=2\sqrt{10}, então
u=\frac{2(1,3)}{2\sqrt{10}}=\frac{(1,3)}{\sqrt{10}}.

Passo 6

Conclusão prática (como você deve escrever na prova): a direção de crescimento mais rápido no ponto (1,1) é a direção do gradiente \nabla f(1,1)=(2,6). Se for necessário fornecer um vetor unitário nessa direção, use
u=\frac{(1,3)}{\sqrt{10}}.
Lembre-se: na prova, dizer “a direção é dada por \nabla f(1,1)” já basta em muitos casos, mas se pedirem “direção unitária” ou “direção normalizada”, entregue u como acima. Você pode explicar rapidamente que isso vem da propriedade \;D_{u}f=\nabla f\cdot u\le \|\nabla f\|, com igualdade quando u é paralelo ao gradiente.

Resposta

A direção de crescimento mais rápido em (1,1) é dada pelo vetor \nabla f(1,1)=(2,6).
O vetor unitário nessa direção é \displaystyle \frac{(1,3)}{\sqrt{10}}.

Exercícios relacionados