(Gradiente e direção de crescimento) Seja
.
Determine a direção de crescimento mais rápido no ponto
.
Determine a direção de crescimento mais rápido no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a direção de crescimento mais rápido (direção de maior aumento de
) no ponto
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde queremos a direção é
. - Precisamos encontrar a direção (vetor) em que
cresce mais rapidamente nesse ponto.
Passo 2
Vou recordar um conceito fundamental que usamos aqui: o gradiente e a derivada direcional. Isso é a “ferramenta” que a prova costuma pedir quando perguntam a direção de crescimento mais rápido.\n
Definição do gradiente: para uma função diferenciável, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Definição do gradiente: para uma função
O gradiente aponta na direção de maior crescimento local de
e seu comprimento
é a taxa máxima de aumento por unidade de comprimento.\n
Derivada direcional: se é um vetor unitário (isto é,
), a derivada de
na direção de
é
Derivada direcional: se
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para qualquer vetor unitário
temos
A igualdade ocorre exatamente quando
tem a mesma direção de
. Portanto, a direção de crescimento mais rápido é a direção do vetor
; se quiser um vetor unitário, normalizamos o gradiente.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Vou fazer passo a passo e explicar por que cada derivada fica assim.\n
- Derivada parcial em relação a
: porque a potência desce como regra . O termo é tratado como constante quando derivamos em , então sua derivada parcial em relação a é .\n - Derivada parcial em relação a
: pelo mesmo motivo (regra da potência e constante multiplicativa). O termo é constante em relação a , então sua derivada parcial é .\n
Portanto,
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Substituímos
e
na expressão do gradiente:
Esse vetor
aponta na direção de crescimento mais rápido em
. Se na prova pedirem “a direção”, esse é o vetor-direção. Se pedirem “a direção unitária” (normalizada), precisamos dividir pelo comprimento do vetor.
Passo 5
Calculemos o comprimento (norma) do vetor
. A norma eu calculo com a fórmula da distância euclidiana:
Podemos simplificar
. Para obter o vetor unitário na direção de maior crescimento, dividimos o gradiente pela sua norma:
Simplificando a fração, observe que
e
, então
Passo 6
Conclusão prática (como você deve escrever na prova): a direção de crescimento mais rápido no ponto
é a direção do gradiente
. Se for necessário fornecer um vetor unitário nessa direção, use
Lembre-se: na prova, dizer “a direção é dada por
” já basta em muitos casos, mas se pedirem “direção unitária” ou “direção normalizada”, entregue
como acima. Você pode explicar rapidamente que isso vem da propriedade
, com igualdade quando
é paralelo ao gradiente.
Resposta
A direção de crescimento mais rápido em
é dada pelo vetor
.
O vetor unitário nessa direção é .
O vetor unitário nessa direção é