Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero;

Passo 1

O enunciado nos dá quatro axiomas/propriedades de probabilidade:
  • a)\\ \;P[\emptyset]=0.
  • b)\\ \;\sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1},\dots,A_{n} uma partição de \Omega.
  • \text{©}\ ;P[A]\geq 0,) para todo evento A.
  • d)\\ \;P[A]\leq 1, para todo evento A.
A afirmação a ser analisada é:
  • “A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero.”
    Em linguagem matemática essa afirmação diz que existe um evento A (obter nota máxima sem estudar) tal que P[A]<0.
O que o exercício pede: identificar qual (ou quais) dos axiomas/propriedades a,b,c,d foi(aram) violado(s) pela afirmação acima.

Passo 2

Explicação detalhada do axioma relevante (não supondo que você já saiba): o axioma de não negatividade.
  • O axioma \text{©}) diz que para qualquer evento A associado ao espaço amostral, a probabilidade desse evento satisfaz P[A]\ge 0.
  • Isso significa, em palavras simples, que uma probabilidade nunca pode ser um número negativo. Probabilidade mede “quão provável” algo é; representar essa medida por um número negativo não faz sentido no modelo axiomatico — a escala começa em zero (impossível) e vai até um máximo (que veremos em seguida).

Passo 3

Aplicando isso à afirmação dada:
  • A afirmação afirma que P[A]<0 para o evento “obter nota máxima sem estudar”.
  • Isso é diretamente contraditório com o axioma \text{©}), que exige P[A]\ge 0.
  • Portanto há uma violação do axioma de não negatividade.

Passo 4

Verificação rápida de por que os outros axiomas não são os violados:
  • a)\\ \;P[\emptyset]=0 fala do evento vazio; a afirmação não menciona o evento vazio nem seu valor, então a) não é violado pela afirmação.
  • b) é sobre soma das probabilidades de uma partição do espaço amostral ser igual a 1. A afirmação isolada não contradiz diretamente essa propriedade (não se refere a uma partição total), então não é o axioma violado aqui.
  • d)\\ \;P[A]\le 1: note que um número negativo satisfaz P[A]\le 1. Assim, mesmo que a afirmação diga P[A]<0, isso não contradiz d) (ou seja, a afirmação viola \text{©}) mas não viola d)). Aliás, usando b) e \text{©}) pode-se derivar d): se P[\Omega]=1 e P[A^c]\ge0, então 1=P[\Omega]=P[A]+P[A^c]\quad\Rightarrow\quad P[A]=1-P[A^c]\le 1.Essa observação mostra que d) é consequência natural (no contexto dado) de b) e \text{©}), reforçando que a raiz do problema é \text{©}).

Passo 5

Exemplos e intuição rápida para fixar:
  • Evento impossível: P[\emptyset]=0. Isso é o menor valor possível de probabilidade.
  • Evento certo: P[\Omega]=1. Isso é o maior valor possível de probabilidade.
  • Evento comum: por exemplo P[A]=0{,}3 significa 30\% de chance — sempre um número entre 0 e 1, inclusive.
  • Se alguém diz que a probabilidade é -0{,}1, está dizendo algo que foge completamente da escala permitida pelas regras do modelo probabilístico axiomatico — por isso é axiomaticamente inválido.

Resposta

(c)

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