Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a)
;
b)
, para
uma partição do espaço amostral
;
c)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras
) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero;
a)
b)
c)
d)
( ) A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero;
Passo 1
O enunciado nos dá quatro axiomas/propriedades de probabilidade:
-
-
para uma partição de . - \text{©}\ ;P[A]\geq 0,) para todo evento
. -
para todo evento .
A afirmação a ser analisada é:
- “A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero.”
Em linguagem matemática essa afirmação diz que existe um evento(obter nota máxima sem estudar) tal que .
O que o exercício pede: identificar qual (ou quais) dos axiomas/propriedades
foi(aram) violado(s) pela afirmação acima.
Passo 2
Explicação detalhada do axioma relevante (não supondo que você já saiba): o axioma de não negatividade.
- O axioma \text{©}) diz que para qualquer evento
associado ao espaço amostral, a probabilidade desse evento satisfaz - Isso significa, em palavras simples, que uma probabilidade nunca pode ser um número negativo. Probabilidade mede “quão provável” algo é; representar essa medida por um número negativo não faz sentido no modelo axiomatico — a escala começa em zero (impossível) e vai até um máximo (que veremos em seguida).
Passo 3
Aplicando isso à afirmação dada:
- A afirmação afirma que
para o evento “obter nota máxima sem estudar”. - Isso é diretamente contraditório com o axioma \text{©}), que exige
. - Portanto há uma violação do axioma de não negatividade.
Passo 4
Verificação rápida de por que os outros axiomas não são os violados:
-
fala do evento vazio; a afirmação não menciona o evento vazio nem seu valor, então não é violado pela afirmação. -
é sobre soma das probabilidades de uma partição do espaço amostral ser igual a . A afirmação isolada não contradiz diretamente essa propriedade (não se refere a uma partição total), então não é o axioma violado aqui. -
: note que um número negativo satisfaz . Assim, mesmo que a afirmação diga , isso não contradiz (ou seja, a afirmação viola \text{©}) mas não viola ). Aliás, usando e \text{©}) pode-se derivar : se e , então Essa observação mostra que é consequência natural (no contexto dado) de e \text{©}), reforçando que a raiz do problema é \text{©}).
Passo 5
Exemplos e intuição rápida para fixar:
- Evento impossível:
. Isso é o menor valor possível de probabilidade. - Evento certo:
. Isso é o maior valor possível de probabilidade. - Evento comum: por exemplo
significa de chance — sempre um número entre e , inclusive. - Se alguém diz que a probabilidade é
, está dizendo algo que foge completamente da escala permitida pelas regras do modelo probabilístico axiomatico — por isso é axiomaticamente inválido.
Resposta
(c)