Determine a média da variável aleatória contínua X definida pela função densidade de probabilidade a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} \frac{1}{800} e^{-\frac{x}{800}}, & \text { se } x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } x<0 \end{array}\right.
a) 80
b) 1 / 8
c) 800
d) 1 / 80
e) 1 / 800

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade f\) da variável aleatória contínua \(X\): \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{800}e^{-\frac{x}{800}}, & \text{se } x\ge 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0. \end{cases}
O que a questão pede é: determinar a média (valor esperado) de X\]. As opções fornecidas são: a) \(80
b) 1/8
c) 800
d) 1/80
e) 1/800]

Passo 2

Lembrete prático e fórmula que vou usar (explicando o que cada coisa significa): para uma variável aleatória contínua X com densidade f(x), a média ou valor esperado é definida por
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui x é a variável de integração (o valor da variável aleatória) e f(x) é a densidade que nos diz “quão provável” são valores próximos de x. Como f(x)=0 para x<0, a integral reduz-se a integrar de 0 a \infty.

Passo 3

Escrevo a integral da média com a densidade dada:
\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{\infty} x\cdot\frac{1}{800}e^{-\frac{x}{800}}\,dx.
Vou agora calcular essa integral passo a passo. A constante \dfrac{1}{800} pode sair da integral:
\mathbb{E}(X)=\frac{1}{800}\int_{0}^{\infty} x\,e^{-\frac{x}{800}}\,dx.

Passo 4

Faço a substituição conveniente para simplificar a exponencial. Seja u=\dfrac{x}{800}. Então
x=800u,\qquad dx=800\,du.
Quando x vai de 0 até \infty, u também vai de 0 até \infty. Substituindo na integral:
\mathbb{E}(X)=\frac{1}{800}\int_{0}^{\infty} (800u)\,e^{-u}\,(800\,du).

Passo 5

Simplifico os fatores constantes da expressão:
\mathbb{E}(X)=\frac{1}{800}\cdot 800\cdot 800\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du.
Os dois fatores 800 multiplicam-se e um cancela com o \dfrac{1}{800}, ficando:
\mathbb{E}(X)=800\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du.

Passo 6

Calculo a integral \int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du. Posso usar integração por partes ou lembrar que é o caso \Gamma(2); para ser explícito uso integração por partes:
Escolho v=u e dw=e^{-u}du. Então dv=du e w=-e^{-u}. Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du=\big[-u e^{-u}\big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du.
Avalio os termos: \lim_{u\to\infty} u e^{-u}=0 (exponencial domina polinomial), e em u=0 temos 0. Assim o primeiro termo dá 0-0=0. A segunda integral é
\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du=\big[-e^{-u}\big]_{0}^{\infty}=1.
Portanto
\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du=1.

Passo 7

Substituo esse resultado na expressão da média:
\mathbb{E}(X)=800\cdot 1=800.
Também é útil saber como checar rápido: a densidade dada é a densidade exponencial com parâmetro \lambda=\dfrac{1}{800}, e para a exponencial \mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{\lambda}=800, o que confirma o cálculo.

Resposta

c) 800

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