Determine a média da variável aleatória contínua X definida pela função densidade de probabilidade a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{cr} \frac{1}{800} e^{-\frac{x}{800}}, & \text { se } x \geq 0 \\\\ 0, & \text { se } x<0 \end{array}\right.
a) 80
b) 1 / 8
c) 800
d) 1 / 80
e) 1 / 800
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade f\) da variável aleatória contínua \(X\):
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{800}e^{-\frac{x}{800}}, & \text{se } x\ge 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x<0. \end{cases}
O que a questão pede é: determinar a média (valor esperado) de X\].
As opções fornecidas são:
a) \(80
b) 1/8
c) 800
d) 1/80
e) 1/800]
Passo 2
Lembrete prático e fórmula que vou usar (explicando o que cada coisa significa): para uma variável aleatória contínua X com densidade f(x), a média ou valor esperado é definida por
Aqui x é a variável de integração (o valor da variável aleatória) e f(x) é a densidade que nos diz “quão provável” são valores próximos de x. Como f(x)=0 para x<0, a integral reduz-se a integrar de 0 a \infty.
Os dois fatores 800 multiplicam-se e um cancela com o \dfrac{1}{800}, ficando:
\mathbb{E}(X)=800\int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du.
Passo 6
Calculo a integral \int_{0}^{\infty} u\,e^{-u}\,du. Posso usar integração por partes ou lembrar que é o caso \Gamma(2); para ser explícito uso integração por partes:
Escolho v=u e dw=e^{-u}du. Então dv=du e w=-e^{-u}. Aplicando integração por partes:
Avalio os termos: \lim_{u\to\infty} u e^{-u}=0 (exponencial domina polinomial), e em u=0 temos 0. Assim o primeiro termo dá 0-0=0. A segunda integral é
Também é útil saber como checar rápido: a densidade dada é a densidade exponencial com parâmetro \lambda=\dfrac{1}{800}, e para a exponencial \mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{\lambda}=800, o que confirma o cálculo.