( 5 pontos) Em uma escola, as turmas
e
têm
e
do total de alunos de determinada série, respectivamente. Dos alunos de cada turma,
e
, respectivamente, serão reprovados. Escolhido ao acaso um aluno dessa série, pede-se:
a) (
pontos) Qual a probabilidade de o aluno ser reprovado?
b) (3 pontos) Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola. Sabendo-se que o aluno será reprovado, qual a probabilidade condicional de que ele seja da turma
?
a) (
b) (3 pontos) Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola. Sabendo-se que o aluno será reprovado, qual a probabilidade condicional de que ele seja da turma
Passo 1
O enunciado dá as proporções das turmas e as taxas de reprovação dentro de cada turma, e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- Proporção de alunos na turma A:
. - Proporção de alunos na turma B:
. - Proporção de alunos na turma C:
. - Probabilidade de reprovação dado que o aluno é da turma A:
. - Probabilidade de reprovação dado que o aluno é da turma B:
. - Probabilidade de reprovação dado que o aluno é da turma C:
.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de, escolhido ao acaso um aluno da série, ele ser reprovado?
b) Sabendo que o aluno escolhido foi reprovado, qual a probabilidade condicional de que ele seja da turma ?
a) Qual a probabilidade de, escolhido ao acaso um aluno da série, ele ser reprovado?
b) Sabendo que o aluno escolhido foi reprovado, qual a probabilidade condicional de que ele seja da turma
Passo 2
Transformando percentuais em probabilidades numéricas (usar vírgula decimal conforme convênio do enunciado):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Explicação da ideia que vamos usar (aulas rápidas):
- Quando temos uma partição do espaço amostral pelas turmas
e sabemos as probabilidades de reprovação em cada turma, a probabilidade total de reprovação é dada pela lei da probabilidade total:
- Para a probabilidade condicional pedida em (b), usamos a fórmula de Bayes:
Aqui cada símbolo significa:
-
: probabilidade do evento . -
: probabilidade de reprovação sabendo que o aluno está na turma . -
: probabilidade de que o aluno seja da turma sabendo que foi reprovado.
Passo 3
Calcular
usando a lei da probabilidade total. Substituindo os valores:
Agora faça as multiplicações uma a uma (mostrando contas que dá para fazer sem calculadora):
Somando:
Interpretação: a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser reprovado é
, ou seja,
.
Passo 4
Agora calcular
por Bayes. Use a expressão:
Substituindo os valores já conhecidos:
Calcule o numerador:
Portanto
Simplificando a fração multiplicando numerador e denominador por
(ou reconhecendo que é
):
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Arredondando razoavelmente:
.
Passo 5
Interpretação final curta e incentivo: a chance de um aluno ser reprovado é baixa (apenas
), mas entre os alunos reprovados há mais da metade vindos da turma B porque a turma B é grande (50% dos alunos) mesmo tendo uma taxa de reprovação relativamente baixa. Boa! Vai dar tempo de revisar mais exercícios desse tipo — você já entendeu a lei total e Bayes que são muito frequentes em provas.
Resposta
a)
b)
b)