( 5 pontos) Em uma escola, as turmas A, B e C têm 10 \%, 50 \% e 40 \% do total de alunos de determinada série, respectivamente. Dos alunos de cada turma, 5 \%, 3 \% e 2 \%, respectivamente, serão reprovados. Escolhido ao acaso um aluno dessa série, pede-se:
a) ( \mathbf{2} pontos) Qual a probabilidade de o aluno ser reprovado?
b) (3 pontos) Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola. Sabendo-se que o aluno será reprovado, qual a probabilidade condicional de que ele seja da turma B ?

Passo 1

O enunciado dá as proporções das turmas e as taxas de reprovação dentro de cada turma, e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • Proporção de alunos na turma A: P(A)=10\%.
  • Proporção de alunos na turma B: P(B)=50\%.
  • Proporção de alunos na turma C: P\text{(C)}=40\%.
  • Probabilidade de reprovação dado que o aluno é da turma A: P(R\mid A)=5\%.
  • Probabilidade de reprovação dado que o aluno é da turma B: P(R\mid B)=3\%.
  • Probabilidade de reprovação dado que o aluno é da turma C: P(R\mid C)=2\%.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de, escolhido ao acaso um aluno da série, ele ser reprovado?
b) Sabendo que o aluno escolhido foi reprovado, qual a probabilidade condicional de que ele seja da turma B?

Passo 2

Transformando percentuais em probabilidades numéricas (usar vírgula decimal conforme convênio do enunciado):
  • P(A)=0,10.
  • P(B)=0,50.
  • P\text{(C)}=0,40.
  • P(R\mid A)=0,05.
  • P(R\mid B)=0,03.
  • P(R\mid C)=0,02.
Explicação da ideia que vamos usar (aulas rápidas):
  • Quando temos uma partição do espaço amostral pelas turmas A,B,C e sabemos as probabilidades de reprovação em cada turma, a probabilidade total de reprovação P(R) é dada pela lei da probabilidade total:
P(R)=P(A)\,P(R\mid A)+P(B)\,P(R\mid B)+P\text{(C)}\,P(R\mid C).
  • Para a probabilidade condicional pedida em (b), usamos a fórmula de Bayes:
P(B\mid R)=\frac{P(B)\,P(R\mid B)}{P(R)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • P(X): probabilidade do evento X.
  • P(R\mid X): probabilidade de reprovação sabendo que o aluno está na turma X.
  • P(X\mid R): probabilidade de que o aluno seja da turma X sabendo que foi reprovado.

Passo 3

Calcular P(R) usando a lei da probabilidade total. Substituindo os valores:
P(R)=0,10\cdot 0,05 + 0,50\cdot 0,03 + 0,40\cdot 0,02.
Agora faça as multiplicações uma a uma (mostrando contas que dá para fazer sem calculadora):
0,10\cdot 0,05 = 0,005,
0,50\cdot 0,03 = 0,015,
0,40\cdot 0,02 = 0,008.
Somando:
P(R)=0,005+0,015+0,008=0,028.
Interpretação: a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser reprovado é 0,028, ou seja, 2,8\%.

Passo 4

Agora calcular P(B\mid R) por Bayes. Use a expressão:
P(B\mid R)=\frac{P(B)\,P(R\mid B)}{P(R)}.
Substituindo os valores já conhecidos:
P(B\mid R)=\frac{0,50\cdot 0,03}{0,028}.
Calcule o numerador:
0,50\cdot 0,03 = 0,015.
Portanto
P(B\mid R)=\frac{0,015}{0,028}.
Simplificando a fração multiplicando numerador e denominador por 1000 (ou reconhecendo que é \tfrac{15}{28}):
P(B\mid R)=\frac{15}{28}\approx 0,535714\ldots
Em porcentagem isso é aproximadamente 53,5714\%. Arredondando razoavelmente: 53,57\%.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivo: a chance de um aluno ser reprovado é baixa (apenas 2,8\%), mas entre os alunos reprovados há mais da metade vindos da turma B porque a turma B é grande (50% dos alunos) mesmo tendo uma taxa de reprovação relativamente baixa. Boa! Vai dar tempo de revisar mais exercícios desse tipo — você já entendeu a lei total e Bayes que são muito frequentes em provas.

Resposta

a) P(\text{reprovado})=0,028=2,8\%
b) P(\text{turma }B\mid\text{reprovado})=\dfrac{15}{28}\approx0,535714\approx53,57\%

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