Considere a=2, b=8, c=4. Seja T o sólido limitado pelos planos x=c-b, y=c-a, z=b-a, e pelo plano
(a-b) x+(b-c) y+(c-a) z=1
com densidade variável dada por
\rho(x, y, z)=1
Calcule o centro de massa do sólido T.

Passo 1

O enunciado dá a=2, b=8, c=4, e define T como o tetraedro limitado pelas quatro faces
x = c-b,\quad y = c-a,\quad z = b-a,
e pela face oblíqua
(a-b)\,x + (b-c)\,y + (c-a)\,z = 1,
com densidade constante \rho(x,y,z)=1. Para achar o centro de massa basta identificar os quatro vértices de T (interseções de qualquer três dessas faces) e usar que o centróide de um tetraedro de vértices V_0,V_1,V_2,V_3 é
\Bigl(\bar x,\bar y,\bar z\Bigr) =\frac{1}{4}\sum_{i=0}^3V_i.

Passo 2

Encontramos os vértices resolvendo as interseções de três faces de cada vez.
  1. Interseção de x=c-b, y=c-a, z=b-a:
V_0 = (\,c-b,\;c-a,\;b-a\,) = (-4,\,2,\,6).
  1. Interseção de y=c-a=2, z=b-a=6 e da face oblíqua -6x+4y+2z=1:
-6x + 4\cdot 2 + 2\cdot 6 = 1 \;\Longrightarrow\; -6x +8+12 =1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{19}{6},
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V_1 = \Bigl(\tfrac{19}{6},\,2,\,6\Bigr).
  1. Interseção de x=c-b=-4, z=b-a=6 e da face oblíqua:
-6(-4) + 4y +2\cdot 6 =1 \;\Longrightarrow\; 24 +4y +12 =1 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{35}{4},
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V_2 = \Bigl(-4,\,-\tfrac{35}{4},\,6\Bigr).
  1. Interseção de x=c-b=-4, y=c-a=2 e da face oblíqua:
-6(-4) +4\cdot2 +2z =1 \;\Longrightarrow\; 24 +8 +2z =1 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{31}{2},
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V_3 = \Bigl(-4,\,2,\,-\tfrac{31}{2}\Bigr).

Passo 3

Como a densidade é uniforme, o centro de massa é o centroid do tetraedro:
\bar x = \frac{-4 + \tfrac{19}{6} + (-4) + (-4)}{4} =\frac{-12 + \tfrac{19}{6}}{4} =\frac{-\tfrac{72}{6} + \tfrac{19}{6}}{4} =\frac{-\tfrac{53}{6}}{4} =-\frac{53}{24},
\bar y = \frac{2 + 2 + \bigl(-\tfrac{35}{4}\bigr) + 2}{4} =\frac{6 - \tfrac{35}{4}}{4} =\frac{\tfrac{24}{4}-\tfrac{35}{4}}{4} =-\frac{11}{16},
\bar z = \frac{6 + 6 + 6 + \bigl(-\tfrac{31}{2}\bigr)}{4} =\frac{18 - \tfrac{31}{2}}{4} =\frac{\tfrac{36}{2}-\tfrac{31}{2}}{4} =\frac{\tfrac{5}{2}}{4} =\frac{5}{8}.

Resposta

O centro de massa de T é
\Bigl(\bar x,\bar y,\bar z\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{53}{24},\,-\tfrac{11}{16},\,\tfrac{5}{8}\Bigr).

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