Questão 2.Dado o conjunto
(a)(Vale 2.0 pontos).Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial sobre
de
.Sua solução deve ser feita detalhadamente!
(b)(Vale 1.5 ponto).Exiba uma base para
.Justifique porquê tal conjunto é uma base!
(c)(Vale 1.0 ponto).Diga a dimensão de
.Justifique porquê tal número é a dimensão de
!
(b)(Vale 1.5 ponto).Exiba uma base para
(c)(Vale 1.0 ponto).Diga a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
onde
O conteúdo envolve subespaços vetoriais, bases e dimensão em
.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço vetorial de
verificando três propriedades:
-
: basta tomar . - Fechamento em soma: se
e estão em , então
- Fechamento em escalar: para todo
e ,
Logo,
satisfaz as condições de subespaço.
Passo 3
Observamos que
portanto todo vetor em
é múltiplo de
. Assim
Passo 4
Proponho como base de
o conjunto
Justificativas:
- Gera
porque já vimos que . - É linearmente independente, pois
implica .
Passo 5
A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de
. Como encontramos uma base com um único vetor,
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) Uma base de é
.
(c) .
(b) Uma base de
(c)