Questão 2.Dado o conjunto
U=[(-1,2,3),(3,-6,-9)]
(a)(Vale 2.0 pontos).Mostre que o conjunto U é um subespaço vetorial sobre \mathbb{R} de \mathbb{R}^{3} .Sua solução deve ser feita detalhadamente!
(b)(Vale 1.5 ponto).Exiba uma base para U .Justifique porquê tal conjunto é uma base!
(c)(Vale 1.0 ponto).Diga a dimensão de U .Justifique porquê tal número é a dimensão de U

Passo 1

O enunciado define
U = \mathrm{Span}\{\,u_1,u_2\}\subseteq\mathbb{R}^3,
onde
u_1 = (-1,2,3), \quad u_2 = (3,-6,-9).
O conteúdo envolve subespaços vetoriais, bases e dimensão em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Mostramos que U é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 verificando três propriedades:
  1. 0\in U: basta tomar 0\cdot u_1+0\cdot u_2=(0,0,0).
  2. Fechamento em soma: se x=a_1u_1+b_1u_2 e y=a_2u_1+b_2u_2 estão em U, então
x+y = (a_1+a_2)u_1 + (b_1+b_2)u_2 \in U.
  1. Fechamento em escalar: para todo \lambda\in\mathbb{R} e x=a\,u_1+b\,u_2\in U,
\lambda x = (\lambda a)\,u_1 + (\lambda b)\,u_2 \in U.
Logo, U satisfaz as condições de subespaço.

Passo 3

Observamos que
u_2 = -3\,u_1,
portanto todo vetor em U é múltiplo de u_1. Assim
U = \{\alpha\,u_1 \mid \alpha\in\mathbb{R}\} = \mathrm{Span}\{u_1\}.

Passo 4

Proponho como base de U o conjunto
\{\,u_1\} = \{\,(-1,2,3)\}.
Justificativas:
  • Gera U porque já vimos que U=\mathrm{Span}\{u_1\}.
  • É linearmente independente, pois \alpha\,u_1=(0,0,0) implica \alpha=0.

Passo 5

A dimensão de U é o número de vetores em qualquer base de U. Como encontramos uma base com um único vetor,
\dim(U) = 1.

Resposta

(a) U é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
(b) Uma base de U é \{(-1,2,3)\}.
(c) \dim(U)=1.

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