Questão 1.(Vale 3.0 pontos).Resolva o sistema linear A \bar{x}=b ,onde:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 5 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), \bar{x}=\left(\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right) \text { e } b=\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A\bar x=b, onde
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 5 & -1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \bar x=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
O método escolhido é eliminação de Gauss: vamos montar a matriz aumentada, triangularizá-la e depois usar substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2 e 3 subtraindo a linha 1:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &\bigl|\!& 2\\\\ 1 & 5 & -1 &\bigl|\!& 1\\\\ 1 & 1 & 1 &\bigl|\!& 3 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2\gets R_2-R_1,\;R_3\gets R_3-R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 &\bigl|\!& 2\\\\ 0 & 7 & -2 &\bigl|\!& -1\\\\ 0 & 3 & 0 &\bigl|\!& 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos o termo abaixo do pivô da coluna 2 combinando as linhas 2 e 3:
\begin{pmatrix} 0 & 7 & -2 &\bigl|\!& -1\\\\ 0 & 3 & 0 &\bigl|\!& 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,7\,R_3 - 3\,R_2\,}\; \begin{pmatrix} 0 & 7 & -2 &\bigl|\!& -1\\\\ 0 & 0 & 6 &\bigl|\!& 10 \end{pmatrix}.
Em seguida dividimos a terceira linha por 6 para obter pivô 1:
(0\;0\;6\mid 10)\;\longrightarrow\;(0\;0\;1\mid \tfrac{10}{6})\equiv(0\;0\;1\mid \tfrac{5}{3})\,.

Passo 4

Agora fazemos substituição regressiva:
Da linha 3:
z = \frac{5}{3}.
Da linha 2:
7y - 2z = -1 \quad\Longrightarrow\quad 7y = -1 + 2\cdot\frac{5}{3} = \frac{7}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{3}.
Da linha 1:
x - 2y + z = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 + 2\cdot\frac{1}{3} - \frac{5}{3} = 1.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(1,\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{5}{3}\Bigr).

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