Considere A e B conjuntos em \mathbb{R} (que podem ser o próprio \mathbb{R} ). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de f para que f: A \rightarrow B seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que f seja injetora.)
f: A \rightarrow B, f(x)=\frac{3}{x-4};

Passo 1

O enunciado pede que a função
f: A \to B,\quad f(x)=\frac{3}{x-4}
seja bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Para isso precisamos escolher
  • A\subseteq\mathbb{R} (domínio) de modo que f seja injetora, e
  • B\subseteq\mathbb{R} (contradomínio) de modo que f(A)=B, garantindo sobrejetividade.

Passo 2

Para que f(x)=\tfrac{3}{x-4} esteja bem definida, o denominador não pode ser zero. Logo
x-4 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 4.
Tomamos então
A = \mathbb{R}\setminus\{4\}.
Esse é o maior conjunto em que f não encontra indeterminações e mantém injetividade.

Passo 3

Verificação de injetividade: suponha
f(x_1)=f(x_2) \;\Longrightarrow\; \frac{3}{x_1-4} = \frac{3}{x_2-4}.
Como 3\neq0, pode-se multiplicar ambos os lados por (x_1-4)(x_2-4) e obter
x_2-4 = x_1-4 \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2.
Logo, f é injetora em A.

Passo 4

Agora buscamos o conjunto imagem f(A). Seja y\in\mathbb{R} um valor pretendido:
y = \frac{3}{x-4} \quad\Longrightarrow\quad y(x-4)=3 \quad\Longrightarrow\quad x = 4 + \frac{3}{y},
contanto que y\neq 0 (pois se y=0 não há solução para 3=0). Assim toda y\neq0 tem um x\in A que produz f(x)=y. Concluímos
f(A) = \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Para que f seja sobrejetora, escolhemos
B = \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

A bijeção ocorre tomando
A = \mathbb{R}\setminus\{4\}, \quad B = \mathbb{R}\setminus\{0\}.

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