Considere A e B conjuntos em \mathbb{R} (que podem ser o próprio \mathbb{R} ). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de f para que f: A \rightarrow B seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que f seja injetora.)
f: A \rightarrow B, f(x)=\sqrt{x-3};

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos conjuntos A\subseteq\mathbb{R} e B\subseteq\mathbb{R} tais que
f\colon A \to B,\quad f(x)=\sqrt{x-3}
seja bijetora.
Para isso precisamos de (i) um domínio A máximo em que f esteja bem definida e injetora, e (ii) um contradomínio B que coincida com a imagem de f, garantindo a sobrejetividade.

Passo 2

Para f(x)=\sqrt{x-3} estar bem definida em \mathbb{R}, é preciso ter
x - 3 \ge 0
pois não queremos raiz de número negativo no conjunto dos reais. Logo o maior domínio possível é
A = \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 3\} = [3,\infty).

Passo 3

No intervalo [3,\infty), a função g(u)=\sqrt{u} é estritamente crescente, e a transformação u=x-3 é afim e também estritamente crescente. A composição mantém-se estritamente crescente, logo f é injetora em A=[3,\infty).

Passo 4

Para que f seja sobrejetora em B, devemos escolher
B = f(A)=\{\sqrt{x-3}\mid x\ge3\}.
Fazendo t=\sqrt{x-3}, temos t\ge0 e todo t\ge0 é atingido (basta tomar x=t^2+3). Assim
B = \{y\in\mathbb{R}\mid y\ge 0\} = [0,\infty),
e f\colon [3,\infty)\to[0,\infty) é bijetora.

Resposta

A = \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge3\} = [3,\infty)
B = \{y\in\mathbb{R}\mid y\ge0\} = [0,\infty)

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