Considere
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
(a) se
é uma matriz simétrica, então
é uma matriz simétrica.
(b) se
é uma matriz antissimétrica, então
é uma matriz antissimétrica.
(a) se
(b) se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz quadrada
e qualquer matriz quadrada
de mesma ordem, a “congruência”
é simétrica se
for simétrica e antissimétrica se
for antissimétrica. Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais de transposição de matrizes:
Além disso lembramos que
Passo 2
Definimos
. Vamos calcular
aplicando
em duas etapas:
Aqui usamos também
.
Passo 3
(a) Se
é simétrica, então
. Substituindo em
obtemos
Como
, concluímos que
é simétrica.
Passo 4
(b) Se
é antissimétrica, então
. Substituindo em
obtemos
Como
, concluímos que
é antissimétrica.
Resposta
(a)
é simétrica.
(b) é antissimétrica.
(b)