Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
(a) se A é uma matriz simétrica, então B^{t} A B é uma matriz simétrica.
(b) se A é uma matriz antissimétrica, então B^{t} A B é uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz quadrada A e qualquer matriz quadrada B de mesma ordem, a “congruência”
C = B^{t} A B
é simétrica se A for simétrica e antissimétrica se A for antissimétrica. Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais de transposição de matrizes:
(XY)^{t} = Y^{t}X^{t} \quad\text{e}\quad (X^{t})^{t} = X.
Além disso lembramos que
A\text{ simétrica}\;\Longleftrightarrow\;A^{t}=A, \quad A\text{ antissimétrica}\;\Longleftrightarrow\;A^{t}=-A.éé

Passo 2

Definimos C = B^{t} A B. Vamos calcular C^{t} aplicando (XY)^{t}=Y^{t}X^{t} em duas etapas:
C^{t} = \bigl(B^{t}A\,B\bigr)^{t} = (A\,B)^{t}\,(B^{t})^{t} = \bigl(B^{t}A^{t}\bigr)\,B = B^{t}\,A^{t}\,B.
Aqui usamos também (B^{t})^{t}=B.

Passo 3

(a) Se A é simétrica, então A^{t}=A. Substituindo em C^{t} obtemos
C^{t} = B^{t}\,A^{t}\,B = B^{t}\,A\,B = C.
Como C^{t}=C, concluímos que C é simétrica.

Passo 4

(b) Se A é antissimétrica, então A^{t}=-A. Substituindo em C^{t} obtemos
C^{t} = B^{t}\,A^{t}\,B = B^{t}(-A)\,B = -\bigl(B^{t}A\,B\bigr) = -C.
Como C^{t}=-C, concluímos que C é antissimétrica.

Resposta

(a) B^{t}AB é simétrica.
(b) B^{t}AB é antissimétrica.

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