Seja
uma matriz invertível. Prove que, para qualquer escalar
não-nulo,
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz invertível e
é um escalar não–nulo. Queremos mostrar que a inversa de
é
. Vamos usar a definição de inversa de matriz (uma matriz
é inversa de
se
) e a propriedade de como escalar se comporta em produto de matrizes.
Passo 2
Seja
Para provar que
é de fato
, basta verificar que
Passo 3
Calculemos primeiro
Passo 4
Agora o produto na outra ordem:
Portanto
satisfaz ambas as condições de inversa.
Passo 5
Pela unicidade da inversa de uma matriz, concluímos que