Seja \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}+\mathrm{z}). Encontre:
(a) A matriz [T]_{B}^{A} considerando A e B as bases canônicas.
(b) A matriz [T]_{D}^{C} onde \mathrm{C}=\{(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2)\} e \mathrm{D}=\{(1,2),(3,5)\}.
(c) [T(v)]_{D} onde \mathrm{v}=(1,1,0).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
\mathrm{T}(x,y,z) = (\,x+y,\;x+z\,),
e pede
(a) a matriz de \mathrm{T} em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 (domínio) e \mathbb{R}^2 (contradomínio);
(b) a matriz de \mathrm{T} em relação às bases \mathrm{C}=\{(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2)\}\subset\mathbb{R}^3
e \mathrm{D}=\{(1,2),(3,5)\}\subset\mathbb{R}^2;
(c) as coordenadas de \mathrm{T}(v) na base \mathrm{D}, onde v=(1,1,0).
Conceitos usados: representação matricial de transformação linear, mudança de base e cálculo de coordenadas.
Passo 2
Em bases canônicas, cada coluna da matriz é \mathrm{T}(e_j) expressa na base padrão de \mathbb{R}^2.
Para [T]_{D}^{C}\), calculamos \(\mathrm{T}(c_j)\) e escrevemos em \(\mathrm{D}\).
1. \(c_1=(1,0,0)\implies\mathrm{T}(c_1)=(1,1)\). Procuramos \((a,b)\) tais que
\((1,1)=a(1,2)+b(3,5)\).
Resolve-se
\[\begin{cases} a+3b=1,\\\\ 2a+5b=1, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad(a,b)=(-2,1).