Seja \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}+\mathrm{z}). Encontre:
(a) A matriz [T]_{B}^{A} considerando A e B as bases canônicas.
(b) A matriz [T]_{D}^{C} onde \mathrm{C}=\{(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2)\} e \mathrm{D}=\{(1,2),(3,5)\}.
(c) [T(v)]_{D} onde \mathrm{v}=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
\mathrm{T}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
\mathrm{T}(x,y,z) = (\,x+y,\;x+z\,),
e pede
(a) a matriz de \mathrm{T} em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 (domínio) e \mathbb{R}^2 (contradomínio);
(b) a matriz de \mathrm{T} em relação às bases
\mathrm{C}=\{(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2)\}\subset\mathbb{R}^3
e
\mathrm{D}=\{(1,2),(3,5)\}\subset\mathbb{R}^2;
(c) as coordenadas de \mathrm{T}(v) na base \mathrm{D}, onde v=(1,1,0).
Conceitos usados: representação matricial de transformação linear, mudança de base e cálculo de coordenadas.

Passo 2

Em bases canônicas, cada coluna da matriz é \mathrm{T}(e_j) expressa na base padrão de \mathbb{R}^2.
\mathrm{T}(1,0,0)=(1,1),\quad \mathrm{T}(0,1,0)=(1,0),\quad \mathrm{T}(0,0,1)=(0,1).
Logo,
[T]_{B}^{A} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para [T]_{D}^{C}\), calculamos \(\mathrm{T}(c_j)\) e escrevemos em \(\mathrm{D}\). 1. \(c_1=(1,0,0)\implies\mathrm{T}(c_1)=(1,1)\). Procuramos \((a,b)\) tais que \((1,1)=a(1,2)+b(3,5)\). Resolve-se \[\begin{cases} a+3b=1,\\\\ 2a+5b=1, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad(a,b)=(-2,1).
  1. c_2=(0,-1,0)\implies\mathrm{T}(c_2)=(-1,0)\]. \[\begin{cases} a+3b=-1,\\\\ 2a+5b=0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad(a,b)=(5,-2).\] 3. \(c_3=(0,0,2)\implies\mathrm{T}(c_3)=(0,2).
\begin{cases} a+3b=0,\\\\ 2a+5b=2 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad(a,b)=(6,-2).
Portanto,
[T]_{D}^{C} =\begin{pmatrix} -2 & 5 & 6\\\\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular [T(v)]_{D}, primeiro expressamos v=(1,1,0) na base \mathrm{C}:
(1,1,0) = a_1(1,0,0) + a_2(0,-1,0) + a_3(0,0,2) \;\Longrightarrow\; (a_1,\,-a_2,\,2a_3)=(1,1,0)
\Rightarrow a_1=1,\;a_2=-1,\;a_3=0.
Logo [v]_{C}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicamos a matriz de \mathrm{T} pelo vetor de coordenadas:
[T(v)]_{D} =[T]_{D}^{C}\,[v]_{C} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 6\\\\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot1 + 5\cdot(-1) + 6\cdot0\\\\ 1\cdot1 +(-2)\cdot(-1)+(-2)\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle [T]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [T]_{D}^{C}=\begin{pmatrix}-2 & 5 & 6\\\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle [T(v)]_{D}=\begin{pmatrix}-7\\\ 3\end{pmatrix}.

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