Considere que, em baixas temperaturas, o calor especifico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a relação
\mathrm{DC}(\mathrm{T})=\mathrm{aT}+\mathrm{bT}^{\wedge} 2.
Se \mathrm{a}=8,2 \times 10^{-2} \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}^{2}\right) e \mathrm{b}=2,2 \times 10^{-3} \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}^{3}\right), calcule o calor necessário para aquecer 1 kg dessa substância de \mathrm{T}=1,0 \mathrm{~K} até \mathrm{T}=6 \mathrm{~K}.
** Apresente sua resposta em J, com duas casas decimais.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede o calor necessário para aquecer 1\\ \text{kg} da substância de T=1{,}0\\ \text{K} até T=6\\ \text{K}. As informações dadas são (peguei estes valores do enunciado):
  • A capacidade térmica específica depende da temperatura segundo \Delta C(T)=aT+bT^{2}.
  • a=8{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}^{2}).
  • b=2{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}^{3}).
  • Massa m=1\\ \text{kg}.
  • Temperaturas inicial e final: T_{1}=1{,}0\\ \text{K} e T_{2}=6\\ \text{K}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura de uma massa m quando a capacidade térmica específica varia com T é dada por
Q = m\int_{T_{1}}^{T_{2}} c(T)\,dT,
onde c(T) é a capacidade térmica específica por unidade de massa (unidades: \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})). Aqui m tem unidades de \mathrm{kg}, o integral dá \mathrm{J}/\mathrm{kg} e Q fica em \mathrm{J}.

Passo 3

Substituímos c(T) pela expressão dada. Como o enunciado escreveu \Delta C(T)=aT+bT^{2}, uso essa mesma expressão como c(T). Assim
Q = m\int_{T_{1}}^{T_{2}} \bigl(aT+bT^{2}\bigr)\,dT.
Aqui m=1\\ \text{kg}, então Q=\int_{1{,}0}^{6}\bigl(aT+bT^{2}\bigr)\,dT.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra de potências: \int T^{n}\,dT = T^{n+1}/(n+1).
\int \bigl(aT+bT^{2}\bigr)\,dT = a\int T\,dT + b\int T^{2}\,dT = a\frac{T^{2}}{2} + b\frac{T^{3}}{3} + C.
Portanto a primitiva é \displaystyle F(T)=\frac{a}{2}T^{2}+\frac{b}{3}T^{3}.

Passo 5

Avalio o integral definido entre T_{1}=1{,}0 e T_{2}=6:
Q = m\bigl[F(6)-F(1{,}0)\bigr] =1\cdot\Biggl(\frac{a}{2}\,6^{2}+\frac{b}{3}\,6^{3}-\Bigl(\frac{a}{2}\,1^{2}+\frac{b}{3}\,1^{3}\Bigr)\Biggr).
Agora substituo os valores numéricos a=8{,}2\times10^{-2} e b=2{,}2\times10^{-3}.
Calculo passo a passo:
6^{2}=36,\qquad 6^{3}=216.
\frac{a}{2}\,6^{2}=\frac{8{,}2\times10^{-2}}{2}\cdot36 =0{,}041\cdot36=1{,}476.
\frac{b}{3}\,6^{3}=\frac{2{,}2\times10^{-3}}{3}\cdot216 =\Bigl(\frac{216}{3}\Bigr)\cdot2{,}2\times10^{-3} =72\cdot2{,}2\times10^{-3}=0{,}1584.
Somando os termos em T=6:
F(6)=1{,}476+0{,}1584=1{,}6344.
Para T=1{,}0:
\frac{a}{2}\,1^{2}=0{,}041,\qquad \frac{b}{3}\,1^{3}= \frac{2{,}2\times10^{-3}}{3}=0{,}000733333\ldots
F(1{,}0)=0{,}041+0{,}000733333\ldots =0{,}041733333\ldots
Agora a diferença:
Q = 1\cdot\bigl(1{,}6344 - 0{,}041733333\ldots\bigr)=1{,}592666666\ldots\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido) e usando vírgula decimal:
Q \approx 1{,}59\\ \mathrm{J}.
Pequena checagem de unidades: integrando c(T) (unidade \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})) sobre T e multiplicando por m em \mathrm{kg} resulta em \mathrm{J}, consistente.

Resposta

1{,}59\\ \mathrm{J}

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