2^{\underline{0}} Questão ( 2,5 pontos)
\begin{aligned} & \oiint_{S} f \vec{\nabla} g \cdot \hat{n} d S=\iiint_{V}\left(f \nabla^{2} g+\vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} g\right) d V \\\ & \oiint_{S}(f \vec{\nabla} g-g \vec{\nabla} f) \hat{n} d S=\iiint_{V}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) d V \end{aligned}
Prove que
\oint_{C} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot d \vec{r}=\iint_{S} \vec{\nabla} \varphi \times \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n} d S
(b) Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\int_{c}-x_{2}^{3} d x_{1}+x_{1}^{3} d x_{2}-x_{3}^{3} d x_{3}
onde C é a interseção do cilindro x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 e o plano x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. A orientação do percurso de integração é o sentido anti-horário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Provar que \displaystyle \oint_{C} \varphi \,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S} \vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi\cdot\hat{n}\,dS.
    2. Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3} onde C é a interseção do cilindro \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1, com o plano \,x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. A orientação do percurso é no sentido anti-horário.
  • Informações relevantes:
    • A identidade a provar relaciona uma integral de linha sobre a curva fechada C=\partial S com uma integral de superfície sobre S.
    • Para calcular a integral de linha do item (b) podemos aplicar o Teorema de Stokes escolhendo uma superfície S cujo contorno é C (por exemplo, o disco no plano limitado por C).
    • O campo vetorial que aparece na integral de linha do item (b) é \vec{F}(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(-x_{2}^{3},\,x_{1}^{3},\,-x_{3}^{3}\bigr).

Passo 2

A ferramenta principal que vamos usar é o Teorema de Stokes. Vou relembrar ele de forma simples e didática.
  • Teorema de Stokes (forma que vamos usar):
    Se S é uma superfície orientada suavemente com bordo fechado C=\partial S e orientação de C compatível com \hat{n} pela regra da mão direita, então para um campo vetorial \vec{A} suave vale \oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,dS.Explicando: \vec{\nabla}\times\vec{A} é o rotor (curl) de \vec{A}; a integral de superfície integra a componente do rotor na direção da normal unitária \hat{n}.

Passo 3

Provar a identidade pedida: escrever a integral de linha como integral de um campo e aplicar Stokes.
  • Observe que a integranda na integral de linha do item (a) é \varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}. Ou seja, a integral é a integral de linha do campo vetorial \vec{A}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi.Aplicando o Teorema de Stokes temos \oint_{C}\varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\bigl(\vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\bigr)\cdot\hat{n}\,dS.Portanto o que resta é mostrar que \vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi.

Passo 4

Derivar a identidade vetorial \vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi.
  • Há uma regra do rotor análoga à regra do produto para derivadas. Para uma função escalar \varphi e um campo vetorial \vec{B} vale
    \vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{B})=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{B}+\varphi\,(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
    Essa fórmula pode ser verificada componente a componente ou obtida a partir das identidades vetoriais usuais — eu mostro uma verificação curta componente a componente para ficar claro:
    Seja \vec{B}=(B_{1},B_{2},B_{3}). Então, por definição,
    (\vec{\nabla}\times(\varphi\vec{B}))_{1}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}(\varphi B_{3})-\frac{\partial}{\partial x_{3}}(\varphi B_{2})
=\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}}B_{3}+\varphi\frac{\partial B_{3}}{\partial x_{2}}-\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}B_{2}+\varphi\frac{\partial B_{2}}{\partial x_{3}}\right)
=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}}B_{3}-\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}B_{2}\right)+\varphi\left(\frac{\partial B_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial B_{2}}{\partial x_{3}}\right),
e os dois termos correspondem respectivamente a (\vec{\nabla}\varphi\times\vec{B})_{1} e \varphi(\vec{\nabla}\times\vec{B})_{1}. As outras componentes são análogas.
  • Agora aplicamos essa regra ao caso \vec{B}=\vec{\nabla}\psi. Como o rotor do gradiente é sempre zero (isto é, \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\psi)=\vec{0}; isso decorre da igualdade das segundas derivadas mistas se \psi for C^{2}), obtemos \vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\underbrace{(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\psi)}_{=\vec{0}} =\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi.

Passo 5

Concluir a prova do item (a) juntando Stokes e a identidade vetorial.
  • Substituindo no Teorema de Stokes obtém-se diretamente \oint_{C}\varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\bigl(\vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\bigr)\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{S}\bigl(\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi\bigr)\cdot\hat{n}\,dS,que é exatamente a identidade que precisávamos provar. Pronto: parte (a) demonstrada.

Passo 6

Agora vamos ao item (b). Reescrever a integral de linha como integral de um campo e aplicar Stokes.
  • Identificamos o campo vetorial \vec{F}(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(-x_{2}^{3},\,x_{1}^{3},\,-x_{3}^{3}\bigr),de modo que a integral pedida é \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}\bigl(-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3}\bigr).Pelo Teorema de Stokes podemos escolher S qualquer superfície suave com bordo C e calcular \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS.

Passo 7

Calcular o rotor \vec{\nabla}\times\vec{F}.
  • Usando as componentes de \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) com F_{1}=-x_{2}^{3}, F_{2}=x_{1}^{3}, F_{3}=-x_{3}^{3}, temos (\vec{\nabla}\times\vec{F})_{1}=\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}}=0-0=0,
(\vec{\nabla}\times\vec{F})_{2}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{1}}=0-0=0,
(\vec{\nabla}\times\vec{F})_{3}=\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} =3x_{1}^{2}-(-3x_{2}^{2})=3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr).
Portanto
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\bigl(0,\,0,\,3(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\bigr).

Passo 8

Escolher a superfície S e a normal compatível com a orientação anti-horária de C.
  • Uma escolha natural é o disco planar S que é a porção do plano \;x_{3}=1-x_{1}-x_{2}\; limitada pela curva C. O vetor normal ao plano é (1,1,1). Para que a orientação de C seja anti-horária vista do ponto de vista da normal, tomamos a normal apontando na direção de (1,1,1). Assim a forma de elemento de área vetorial (não unitária) é \hat{n}\,dS \quad\text{equivalente a}\quad ( -\partial_{x_{1}}x_{3},\,-\partial_{x_{2}}x_{3},\,1)\,dA,onde dA é a área no plano x_{1}x_{2}. Como x_{3}=1-x_{1}-x_{2} temos \partial_{x_{1}}x_{3}=-1, \partial_{x_{2}}x_{3}=-1, então ( -\partial_{x_{1}}x_{3},\,-\partial_{x_{2}}x_{3},\,1)=(1,1,1).Assim podemos usar diretamente o elemento de área vetorial (1,1,1)\,dA (isso corresponde a escolher a normal na direção (1,1,1), compatível com a orientação anti-horária dada).

Passo 9

Avaliar a integral de superfície usando a projeção no plano x_{1}x_{2}.
  • Temos \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{D}\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{F}\bigr)\cdot(1,1,1)\,dA,onde D é a projeção de S no plano x_{1}x_{2}. Como \vec{\nabla}\times\vec{F}=(0,0,3(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})) obtemos \bigl(\vec{\nabla}\times\vec{F}\bigr)\cdot(1,1,1)=3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr).A curva C é a interseção do cilindro x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 com o plano, portanto a projeção D é o disco unitário no plano x_{1}x_{2}: D=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 1\}.Logo \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr)\,dA.

Passo 10

Calcular a integral em coordenadas polares.
  • Use x_{1}=r\cos\theta, x_{2}=r\sin\theta, com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. Então x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. A integral fica \iint_{D}3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}3r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr\,d\theta.Primeiro integramos em r: \int_{0}^{1}3r^{3}\,dr=3\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{3}{4}.Em seguida em \theta: \int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}\,d\theta=\frac{3}{4}\cdot 2\pi=\frac{3\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \oint_{C}\varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi\cdot\hat{n}\,dS
\displaystyle \int_{C}-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3}=\frac{3\pi}{2}

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