\begin{aligned} & \oiint_{S} f \vec{\nabla} g \cdot \hat{n} d S=\iiint_{V}\left(f \nabla^{2} g+\vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} g\right) d V \\\ & \oiint_{S}(f \vec{\nabla} g-g \vec{\nabla} f) \hat{n} d S=\iiint_{V}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) d V \end{aligned}
Prove que
\oint_{C} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot d \vec{r}=\iint_{S} \vec{\nabla} \varphi \times \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n} d S
(b) Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\int_{c}-x_{2}^{3} d x_{1}+x_{1}^{3} d x_{2}-x_{3}^{3} d x_{3}
onde C é a interseção do cilindro x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 e o plano x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. A orientação do percurso de integração é o sentido anti-horário.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
O enunciado pede duas coisas:
Provar que \displaystyle \oint_{C} \varphi \,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S} \vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi\cdot\hat{n}\,dS.
Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3} onde C é a interseção do cilindro \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1, com o plano \,x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. A orientação do percurso é no sentido anti-horário.
Informações relevantes:
A identidade a provar relaciona uma integral de linha sobre a curva fechada C=\partial S com uma integral de superfície sobre S.
Para calcular a integral de linha do item (b) podemos aplicar o Teorema de Stokes escolhendo uma superfície S cujo contorno é C (por exemplo, o disco no plano limitado por C).
O campo vetorial que aparece na integral de linha do item (b) é\vec{F}(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(-x_{2}^{3},\,x_{1}^{3},\,-x_{3}^{3}\bigr).
Passo 2
A ferramenta principal que vamos usar é o Teorema de Stokes. Vou relembrar ele de forma simples e didática.
Teorema de Stokes (forma que vamos usar):
Se S é uma superfície orientada suavemente com bordo fechado C=\partial S e orientação de C compatível com \hat{n} pela regra da mão direita, então para um campo vetorial \vec{A} suave vale\oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,dS.Explicando: \vec{\nabla}\times\vec{A} é o rotor (curl) de \vec{A}; a integral de superfície integra a componente do rotor na direção da normal unitária \hat{n}.
Passo 3
Provar a identidade pedida: escrever a integral de linha como integral de um campo e aplicar Stokes.
Observe que a integranda na integral de linha do item (a) é \varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}. Ou seja, a integral é a integral de linha do campo vetorial\vec{A}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi.Aplicando o Teorema de Stokes temos\oint_{C}\varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\bigl(\vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\bigr)\cdot\hat{n}\,dS.Portanto o que resta é mostrar que\vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi.
Passo 4
Derivar a identidade vetorial \vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi.
Há uma regra do rotor análoga à regra do produto para derivadas. Para uma função escalar \varphi e um campo vetorial \vec{B} vale
Essa fórmula pode ser verificada componente a componente ou obtida a partir das identidades vetoriais usuais — eu mostro uma verificação curta componente a componente para ficar claro:
Seja \vec{B}=(B_{1},B_{2},B_{3}). Então, por definição,
e os dois termos correspondem respectivamente a (\vec{\nabla}\varphi\times\vec{B})_{1} e \varphi(\vec{\nabla}\times\vec{B})_{1}. As outras componentes são análogas.
Agora aplicamos essa regra ao caso \vec{B}=\vec{\nabla}\psi. Como o rotor do gradiente é sempre zero (isto é, \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\psi)=\vec{0}; isso decorre da igualdade das segundas derivadas mistas se \psi for C^{2}), obtemos\vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\underbrace{(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\psi)}_{=\vec{0}} =\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi.
Passo 5
Concluir a prova do item (a) juntando Stokes e a identidade vetorial.
Substituindo no Teorema de Stokes obtém-se diretamente\oint_{C}\varphi\,\vec{\nabla}\psi\cdot d\vec{r}=\iint_{S}\bigl(\vec{\nabla}\times(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)\bigr)\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{S}\bigl(\vec{\nabla}\varphi\times\vec{\nabla}\psi\bigr)\cdot\hat{n}\,dS,que é exatamente a identidade que precisávamos provar. Pronto: parte (a) demonstrada.
Passo 6
Agora vamos ao item (b). Reescrever a integral de linha como integral de um campo e aplicar Stokes.
Identificamos o campo vetorial\vec{F}(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(-x_{2}^{3},\,x_{1}^{3},\,-x_{3}^{3}\bigr),de modo que a integral pedida é\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}\bigl(-x_{2}^{3}\,dx_{1}+x_{1}^{3}\,dx_{2}-x_{3}^{3}\,dx_{3}\bigr).Pelo Teorema de Stokes podemos escolher S qualquer superfície suave com bordo C e calcular\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS.
Passo 7
Calcular o rotor \vec{\nabla}\times\vec{F}.
Usando as componentes de \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) com F_{1}=-x_{2}^{3}, F_{2}=x_{1}^{3}, F_{3}=-x_{3}^{3}, temos(\vec{\nabla}\times\vec{F})_{1}=\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{3}}=0-0=0,
Escolher a superfície S e a normal compatível com a orientação anti-horária de C.
Uma escolha natural é o disco planar S que é a porção do plano \;x_{3}=1-x_{1}-x_{2}\; limitada pela curva C. O vetor normal ao plano é (1,1,1). Para que a orientação de C seja anti-horária vista do ponto de vista da normal, tomamos a normal apontando na direção de (1,1,1). Assim a forma de elemento de área vetorial (não unitária) é\hat{n}\,dS \quad\text{equivalente a}\quad ( -\partial_{x_{1}}x_{3},\,-\partial_{x_{2}}x_{3},\,1)\,dA,onde dA é a área no plano x_{1}x_{2}. Como x_{3}=1-x_{1}-x_{2} temos \partial_{x_{1}}x_{3}=-1, \partial_{x_{2}}x_{3}=-1, então( -\partial_{x_{1}}x_{3},\,-\partial_{x_{2}}x_{3},\,1)=(1,1,1).Assim podemos usar diretamente o elemento de área vetorial (1,1,1)\,dA (isso corresponde a escolher a normal na direção (1,1,1), compatível com a orientação anti-horária dada).
Passo 9
Avaliar a integral de superfície usando a projeção no plano x_{1}x_{2}.
Temos\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{D}\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{F}\bigr)\cdot(1,1,1)\,dA,onde D é a projeção de S no plano x_{1}x_{2}. Como \vec{\nabla}\times\vec{F}=(0,0,3(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})) obtemos\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{F}\bigr)\cdot(1,1,1)=3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr).A curva C é a interseção do cilindro x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 com o plano, portanto a projeção D é o disco unitário no plano x_{1}x_{2}:D=\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 1\}.Logo\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr)\,dA.
Passo 10
Calcular a integral em coordenadas polares.
Use x_{1}=r\cos\theta, x_{2}=r\sin\theta, com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. Então x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. A integral fica\iint_{D}3\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}3r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr\,d\theta.Primeiro integramos em r:\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr=3\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{3}{4}.Em seguida em \theta:\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}\,d\theta=\frac{3}{4}\cdot 2\pi=\frac{3\pi}{2}.