Em um calorímetro ideal são adicionadas as seguintes quantidades de água:
  • 200 g de gelo a -20^{\circ} \mathrm{C};
  • 2236 g de água líquida a 90^{\circ} \mathrm{C};
  • 20 g de vapor de água a 120^{\circ} \mathrm{C}.
Todo experimento ocorre sob pressão de 1 atm , para a qual os calores especificos médios do gelo, da água liquida e do vapor valem, respectivamente: 0,5 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}\right) ; 1,0 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}\right); e 0,5 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}\right). Os calores de fusão e de vaporização valem, respectivamente, 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g} e 540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.
Determine a temperatura de equilibrio dessa mistura.
**Expresse resposta em { }^{\circ} \mathrm{C}, com duas casas decimais.
Resposta: □

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
O enunciado fornece:
  • Massa de gelo: m_{\text{gelo}}=200\\ \text{g} à temperatura inicial -20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Massa de água líquida: m_{\text{água}}=2236\\ \text{g}á à temperatura inicial 90^{\circ}\mathrm{C}.
  • Massa de vapor: m_{\text{vapor}}=20\\ \text{g} à temperatura inicial 120^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calores específicos médios (à pressão 1\\ \text{atm}):
    • gelo: c_{\text{gelo}}=0,5\\ \text{cal}/(\text{g}^{\circ}\mathrm{C}),
    • água líquida: c_{\text{água}}=1,0\\ \text{cal}/(\text{g}^{\circ}\mathrm{C})á,
    • vapor: c_{\text{vapor}}=0,5\\ \text{cal}/(\text{g}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Calores latentes:
    • fusão (gelo→água): L_f=80\\ \text{cal}/\text{g},
    • vaporização (água→vapor): L_v=540\\ \text{cal}/\text{g}.
O enunciado pede:
  • Determinar a temperatura de equilíbrio final da mistura (em {}^{\circ}\mathrm{C}), com duas casas decimais.

Passo 2

Regras físicas e fórmulas que usaremos (explicadas de forma prática):
  • Conservação de energia térmica (calor trocado no calorímetro ideal): a soma algébrica dos calores trocados por todas as partes é zero (calor perdido = calor ganho).
  • Aquecimento/resfriamento sem mudança de fase: o calor é q = m\,c\,\Delta T, onde:
    • m é a massa (g),
    • c é o calor específico (cal/g°C),
    • \Delta T é a variação de temperatura (°C); se a substância aquecer, q>0; se esfriar, q<0.
  • Mudança de fase (à temperatura de mudança de fase): o calor é q = m\,L, onde L é o calor latente (cal/g). Aqui L_f para fusão e L_v para vaporização. Esses calores trocados ocorrem sem mudança de temperatura (por exemplo: gelo derretendo a 0^{\circ}\mathrm{C}, vapor condensando a 100^{\circ}\mathrm{C} sob 1 atm).
  • Estratégia prática: primeiro verificar se, após as trocas de calor necessárias para levar as partes às temperaturas de mudança de fase (0°C ou 100°C), sobra energia suficiente para mover a temperatura final acima ou abaixo dessas temperaturas. Ou seja, testar se o equilíbrio ocorrerá em faixa (<0), 0, (0,100), 100, ou >100. Aqui trabalharemos passo a passo calculando energias necessárias/fornecidas.

Passo 3

Calor necessário para aquecer o gelo de -20^{\circ}\mathrm{C} até 0^{\circ}\mathrm{C}:
q_{1} = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-20)) =200\cdot0,5\cdot20=2000\\ \text{cal}.
Calor necessário para fundir todo esse gelo (de sólido a líquido a 0^{\circ}\mathrm{C}):
q_{2} = m_{\text{gelo}}\,L_f = 200\cdot80=16000\\ \text{cal}.
Somando, o calor total que o gelo precisa receber para virar água líquida a 0^{\circ}\mathrm{C} é:
Q_{\text{gelo}\to\text{água 0°C}} = q_{1}+q_{2}=2000+16000=18000\\ \text{cal}.á

Passo 4

Calor que a água líquida de 90^{\circ}\mathrm{C} libera ao resfriar até 0^{\circ}\mathrm{C}:
Q_{\text{água 90°C}\to 0°C} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(90-0) =2236\cdot1,0\cdot90=201240\\ \text{cal}.ááá

Passo 5

Calor liberado pelo vapor de 120^{\circ}\mathrm{C} ao passar para água líquida a 0^{\circ}\mathrm{C}: temos três etapas:
  1. resfriar vapor de 120^{\circ}\mathrm{C} até 100^{\circ}\mathrm{C}:
q_{v1}=m_{\text{vapor}}\,c_{\text{vapor}}\,(120-100) =20\cdot0,5\cdot20=200\\ \text{cal}.
  1. condensar o vapor a 100^{\circ}\mathrm{C}:
q_{v2}= - m_{\text{vapor}}\,L_v = -20\cdot540 = -10800\\ \text{cal},
(negativo se pensamos em “calor ganho pelo vapor”, mas aqui vou somar módulos como energia liberada).
3) resfriar a água resultante de 100^{\circ}\mathrm{C} até 0^{\circ}\mathrm{C}:
q_{v3}=m_{\text{vapor}}\,c_{\text{água}}\,(100-0) =20\cdot1,0\cdot100=2000\\ \text{cal}.á
Somando os módulos (energia liberada pelo vapor ao virar água a 0^{\circ}\mathrm{C}):
Q_{\text{vapor}\to\text{água 0°C}} = q_{v1}+q_{v2}+q_{v3}=200+10800+2000=13000\\ \text{cal}.á
(Nota: aqui somei as energias liberadas; o sinal já interpretado como energia disponível para o resto do sistema.)

Passo 6

Energia total que as partes quentes (a água a 90^{\circ}\mathrm{C} e o vapor a 120^{\circ}\mathrm{C}) podem ceder para abaixar até 0^{\circ}\mathrm{C}:
Q_{\text{quentes}\to 0°C}=Q_{\text{água 90°C}\to 0°C}+Q_{\text{vapor}\to\text{água 0°C}} =201240+13000=214240\\ \text{cal}.áá
Comparação importante: o gelo precisa de 18000\\ \text{cal} para virar água a 0^{\circ}\mathrm{C}. Como 214240>18000, sobra energia depois de derreter todo o gelo e levar tudo a 0^{\circ}\mathrm{C}. Portanto não haverá gelo no equilíbrio final: toda água estará no estado líquido, e a temperatura de equilíbrio será maior que 0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular quanta energia sobra depois de derreter o gelo e levar tudo a 0^{\circ}\mathrm{C}. Essa energia sobrante servirá para elevar a temperatura da massa total de água líquida acima de 0^{\circ}\mathrm{C}.
Energia disponível além do necessário para derreter o gelo:
Q_{\text{sobra}} = Q_{\text{quentes}\to 0°C} - Q_{\text{gelo}\to\text{água 0°C}} =214240 - 18000 = 196240\\ \text{cal}.á
Massa total de água líquida após todas as mudanças (gelo derretido + água inicial + vapor condensado) é:
m_{\text{total}} = 200 + 2236 + 20 = 2456\\ \text{g}.
Para subir a temperatura dessa massa de 0^{\circ}\mathrm{C} até uma temperatura final T (com 0<T<100), a energia necessária é
Q_{\text{aquecimento}} = m_{\text{total}}\,c_{\text{água}}\,(T-0) =2456\cdot1,0\cdot T =2456\,T\\ \text{cal},á
onde T está em {}^{\circ}\mathrm{C}.
No equilíbrio, a energia que sobra será exatamente a energia necessária para aquecer toda a água de 0 até T, então
2456\,T = 196240.

Passo 8

Resolver para T:
T = \dfrac{196240}{2456}.
Fazendo a divisão (mostrando um passo numérico simples):
2456\cdot80=196480,\quad\text{logo}\quad T\lesssim80.
Calculando com mais precisão:
T \approx 79,90228\ldots\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido):
T \approx 79,90^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

79,90^{\circ}\mathrm{C}

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