Considere uma barma prismâtica de aço com
GPa, de seçåo transversal circular de diâmetro igual a 50 mm . Sabendo-se que seu comprimento é igual a
e que a tensâo máxima admissivel é de 230 MPa , determinar a carga máxima de compresslo que pode ser aplicada a ela nas seguintes condiçôes:
Articulada nas extremidades
Articulada nas extremidades
Passo 1
O enunciado dá uma barra prismática de aço com as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
- Módulo de elasticidade:
. - Diâmetro da seção circular:
. - Comprimento da barra:
. - Tensão máxima admissível (tensão de esmagamento direta):
. - Condição de apoio: articulada nas extremidades, portanto o coeficiente de comprimento efetivo é
.
O que o problema pede:
- Determinar a carga máxima de compressão que pode ser aplicada à barra nessa condição (
).
Observação: para uma barra comprimida devemos verificar tanto a resistência ao esforço normal (tensão direta) quanto a flambagem (carga crítica de Euler). A carga máxima admissível será a menor entre a que gera a tensão admissível e a carga crítica de flambagem. Nos próximos passos vou calcular ambas e comparar.
Passo 2
Área da seção transversal (círculo) — fórmula e cálculo:
- Fórmula:
. - Conversão de unidades:
. - Cálculo:
Explicação didática: a área de um círculo é
; como
isto dá
. Usei metros para que as unidades fiquem em Pascal (N/m²) ao multiplicar por área em m².
Passo 3
Carga máxima pela tensão direta (compressão pura) — fórmula e cálculo:
- Conceito: se a barra se romper pelo limite de tensão sem flambagem, a tensão média na seção é
. Logo a carga que gera a tensão admissível é . - Fórmula:
- Valores:
e . - Cálculo:
Comentário didático: isto é simplesmente a tensão admissível multiplicada pela área; se aplicarmos uma carga maior, a tensão média excede o limite de 230 MPa.
Passo 4
Momento de inércia da seção (círculo) — fórmula e cálculo (necessário para Euler):
- Fórmula para seção circular sólida em relação ao eixo neutro:
- Cálculo:
então .
Explicação didática: o momento de inércia mede a “resistência geométrica” da seção à flexão; aparece na fórmula de Euler para flambagem porque a barra, ao flambar, “dobra” e a rigidez à flexão participa do equilíbrio.
Passo 5
Carga crítica de Euler (flambagem) — fórmula, uso de
e cálculo:
- Fórmula de Euler para carga crítica de uma barra com coeficiente de comprimento efetivo
:
- Aqui
, , , . - Cálculo passo a passo:
Comentário didático: esta é a carga à qual a barra perde estabilidade por flambagem. Note que Euler é adequado para barras esbeltas; vou checar a esbeltez no passo seguinte.
Passo 6
Verificação da esbeltez (raio de giração e índice de esbeltez) — justificar uso de Euler:
- Raio de giração:
Usando
e
,
- Esbeltez (razão
):
Comentário didático: um valor de
grande (tipicamente acima de ~100) indica uma barra relativamente esbelta, para a qual a flambagem (Euler) é relevante. Assim a aplicação da fórmula de Euler é apropriada neste caso.
Passo 7
Comparação entre
e
e conclusão sobre a carga máxima admissível:
- Temos:
- A carga crítica de flambagem é menor que a carga que faria a tensão direta atingir o limite admissível. Portanto a barra vai falhar por flambagem antes de atingir a tensão admissível. Logo a carga máxima de compressão que pode ser aplicada é a carga crítica de Euler
.