Considere uma barma prismâtica de aço com \mathrm{E}_{40}=200 GPa, de seçåo transversal circular de diâmetro igual a 50 mm . Sabendo-se que seu comprimento é igual a 1,35 \mathrm{~m} e que a tensâo máxima admissivel é de 230 MPa , determinar a carga máxima de compresslo que pode ser aplicada a ela nas seguintes condiçôes:
Articulada nas extremidades \rightarrow \mathrm{K}=1

Passo 1

O enunciado dá uma barra prismática de aço com as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • Módulo de elasticidade: E=200\\ \text{GPa}.
  • Diâmetro da seção circular: d=50\\ \text{mm}.
  • Comprimento da barra: L=1,35\\ \text{m}.
  • Tensão máxima admissível (tensão de esmagamento direta): \sigma_{\text{adm}}=230\\ \text{MPa}.
  • Condição de apoio: articulada nas extremidades, portanto o coeficiente de comprimento efetivo é K=1.
O que o problema pede:
  • Determinar a carga máxima de compressão que pode ser aplicada à barra nessa condição ( K=1).
    Observação: para uma barra comprimida devemos verificar tanto a resistência ao esforço normal (tensão direta \sigma=P/A) quanto a flambagem (carga crítica de Euler). A carga máxima admissível será a menor entre a que gera a tensão admissível e a carga crítica de flambagem. Nos próximos passos vou calcular ambas e comparar.

Passo 2

Área da seção transversal (círculo) — fórmula e cálculo:
  • Fórmula: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Conversão de unidades: d=50\\ \text{mm}=0,05\\ \text{m}.
  • Cálculo:
A=\frac{\pi (0,05)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 0,0025}{4}=\pi\cdot 0,000625\approx 0,0019635\\ \text{m}^{2}.
Explicação didática: a área de um círculo é \pi r^{2}; como r=d/2 isto dá \pi d^{2}/4. Usei metros para que as unidades fiquem em Pascal (N/m²) ao multiplicar por área em m².

Passo 3

Carga máxima pela tensão direta (compressão pura) — fórmula e cálculo:
  • Conceito: se a barra se romper pelo limite de tensão sem flambagem, a tensão média na seção é \sigma=\dfrac{P}{A}. Logo a carga que gera a tensão admissível é P_{\text{direta}}=\sigma_{\text{adm}}\cdot A.
  • Fórmula:
P_{\text{direta}}=\sigma_{\text{adm}}\;A.
  • Valores: \sigma_{\text{adm}}=230\\ \text{MPa}=230\times10^{6}\\ \text{Pa} e A\approx0,0019635\\ \text{m}^{2}.
  • Cálculo:
P_{\text{direta}}=230\times10^{6}\cdot 0,0019635\approx 4,518\times10^{5}\\ \text{N}\approx 451,8\\ \text{kN}.
Comentário didático: isto é simplesmente a tensão admissível multiplicada pela área; se aplicarmos uma carga maior, a tensão média excede o limite de 230 MPa.

Passo 4

Momento de inércia da seção (círculo) — fórmula e cálculo (necessário para Euler):
  • Fórmula para seção circular sólida em relação ao eixo neutro:
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
  • Cálculo: d=0,05\\ \text{m} então d^{4}=(0,05)^{4}=6{,}25\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.
I=\frac{\pi\cdot 6{,}25\times10^{-6}}{64}\approx 3{,}0673\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}.
Explicação didática: o momento de inércia mede a “resistência geométrica” da seção à flexão; aparece na fórmula de Euler para flambagem porque a barra, ao flambar, “dobra” e a rigidez à flexão participa do equilíbrio.

Passo 5

Carga crítica de Euler (flambagem) — fórmula, uso de K e cálculo:
  • Fórmula de Euler para carga crítica de uma barra com coeficiente de comprimento efetivo K:
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
  • Aqui E=200\\ \text{GPa}=200\times10^{9}\\ \text{Pa}, I\approx 3{,}0673\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}, K=1, L=1{,}35\\ \text{m}.
  • Cálculo passo a passo:
\pi^{2}\approx 9{,}8696,
\pi^{2} E I \approx 9{,}8696\cdot 200\times10^{9}\cdot 3{,}0673\times10^{-7}\approx 6{,}0525\times10^{5}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2},
(KL)^{2}=(1\cdot 1{,}35)^{2}=1{,}8225\\ \text{m}^{2},
P_{\text{cr}}=\frac{6{,}0525\times10^{5}}{1{,}8225}\approx 3{,}323\times10^{5}\\ \text{N}\approx 332,3\\ \text{kN}.
Comentário didático: esta é a carga à qual a barra perde estabilidade por flambagem. Note que Euler é adequado para barras esbeltas; vou checar a esbeltez no passo seguinte.

Passo 6

Verificação da esbeltez (raio de giração e índice de esbeltez) — justificar uso de Euler:
  • Raio de giração:
r=\sqrt{\frac{I}{A}}.
Usando I\approx 3{,}0673\times10^{-7}\\ \text{m}^{4} e A\approx 0{,}0019635\\ \text{m}^{2},
r=\sqrt{\frac{3{,}0673\times10^{-7}}{0{,}0019635}}=\sqrt{1{,}5625\times10^{-4}}=0{,}0125\\ \text{m}=12{,}5\\ \text{mm}.
  • Esbeltez (razão KL/r):
\lambda=\frac{K L}{r}=\frac{1\cdot 1{,}35}{0{,}0125}=108.
Comentário didático: um valor de \lambda grande (tipicamente acima de ~100) indica uma barra relativamente esbelta, para a qual a flambagem (Euler) é relevante. Assim a aplicação da fórmula de Euler é apropriada neste caso.

Passo 7

Comparação entre P_{\text{direta}} e P_{\text{cr}} e conclusão sobre a carga máxima admissível:
  • Temos:
P_{\text{direta}\;} \approx 4{,}518\times10^{5}\\ \text{N}\\ (\approx 451{,}8\\ \text{kN}),
P_{\text{cr}}\approx 3{,}323\times10^{5}\\ \text{N}\\ (\approx 332{,}3\\ \text{kN}).
  • A carga crítica de flambagem é menor que a carga que faria a tensão direta atingir o limite admissível. Portanto a barra vai falhar por flambagem antes de atingir a tensão admissível. Logo a carga máxima de compressão que pode ser aplicada é a carga crítica de Euler P_{\text{cr}}.

Resposta

P_{\max}=3{,}323\times10^{5}\\ \text{N}\approx 332{,}3\\ \text{kN}

Exercícios relacionados