A quantidade de produto químico indesejável presente em uma lagoa no instante t, q(t), obedece a seguinte equação diferencial:
\frac{d q}{d t}=10+5 \operatorname{sen} 2 t-\frac{q}{2}
Se no momento inicial (t=0) não há produto químico na lagoa, deduza que a quantidade presente no instante t \geq 0 vem dada por
q(t)=20-\frac{40}{17} \cos 2 t+\frac{10}{17} \operatorname{sen} 2 t-\frac{300}{17} e^{-t / 2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial inicial para a quantidade de produto químico q(t):
\frac{d q}{d t}=10+5\operatorname{sen}2t-\frac{q}{2}
e a condição inicial
q(0)=0.
A tarefa é deduzir explicitamente q(t) para t\ge 0, isto é, encontrar a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{2}q=10+5\operatorname{sen}2t.
Aqui a função incógnita é q(t); o coeficiente multiplicando q é \tfrac{1}{2} e o termo do lado direito é uma função conhecida de t. Vamos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{2}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{t}{2}\right)=e^{t/2}.
A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por \mu(t) para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)q(t).

Passo 4

Multiplicando a equação por e^{t/2} obtemos
e^{t/2}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{2}e^{t/2}q=e^{t/2}\left(10+5\operatorname{sen}2t\right).
Pelo produto da derivada, o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{t/2}q:
\frac{d}{dt}\!\left(e^{t/2}q\right)=e^{t/2}\left(10+5\operatorname{sen}2t\right).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t/2}q(t)=\int e^{t/2}\left(10+5\operatorname{sen}2t\right)\,dt + C,
onde C é constante de integração. Vamos calcular a integral à direita, que se separa em duas partes:
\int e^{t/2}\left(10+5\operatorname{sen}2t\right)\,dt =10\int e^{t/2}\,dt +5\int e^{t/2}\operatorname{sen}2t\,dt.

Passo 6

Calculemos a primeira integral simples:
10\int e^{t/2}\,dt =10\cdot 2 e^{t/2}=20 e^{t/2},
pois \int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at} e aqui a=\tfrac{1}{2}, então \frac{1}{a}=2.

Passo 7

Agora precisamos de
I=\int e^{t/2}\operatorname{sen}2t\,dt.
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha u=\operatorname{sen}2t e dv=e^{t/2}dt. Então du=2\operatorname{cos}2t\,dt e v=2e^{t/2}. Assim
I=2e^{t/2}\operatorname{sen}2t-4\int e^{t/2}\operatorname{cos}2t\,dt.
Chame a integral restante de
J=\int e^{t/2}\operatorname{cos}2t\,dt.
Para J aplicamos integração por partes com u=\operatorname{cos}2t, dv=e^{t/2}dt. Então du=-2\operatorname{sen}2t\,dt e v=2e^{t/2}, obtendo
J=2e^{t/2}\operatorname{cos}2t+4\int e^{t/2}\operatorname{sen}2t\,dt=2e^{t/2}\operatorname{cos}2t+4I.

Passo 8

Substituímos J na expressão de I:
I=2e^{t/2}\operatorname{sen}2t-4J =2e^{t/2}\operatorname{sen}2t-4\left(2e^{t/2}\operatorname{cos}2t+4I\right).
Desenvolvendo:
I=2e^{t/2}\operatorname{sen}2t-8e^{t/2}\operatorname{cos}2t-16I.
Passando -16I para o lado esquerdo obtemos
17I=2e^{t/2}\operatorname{sen}2t-8e^{t/2}\operatorname{cos}2t.
Logo
I=\frac{e^{t/2}}{17}\left(2\operatorname{sen}2t-8\operatorname{cos}2t\right).

Passo 9

Voltando à integral original, multiplicamos I por 5:
5I=\frac{5e^{t/2}}{17}\left(2\operatorname{sen}2t-8\operatorname{cos}2t\right) =e^{t/2}\left(\frac{10}{17}\operatorname{sen}2t-\frac{40}{17}\operatorname{cos}2t\right).
Somando com a outra parte da integral, concluímos que
\int e^{t/2}\left(10+5\operatorname{sen}2t\right)\,dt =20e^{t/2}+e^{t/2}\left(\frac{10}{17}\operatorname{sen}2t-\frac{40}{17}\operatorname{cos}2t\right)+C.

Passo 10

Portanto da integração anterior temos
e^{t/2}q(t)=20e^{t/2}+e^{t/2}\left(\frac{10}{17}\operatorname{sen}2t-\frac{40}{17}\operatorname{cos}2t\right)+C.
Dividindo por e^{t/2} obtemos a solução geral:
q(t)=20+\frac{10}{17}\operatorname{sen}2t-\frac{40}{17}\operatorname{cos}2t + C e^{-t/2}.

Passo 11

Aplicamos a condição inicial q(0)=0. Avaliando em t=0:
q(0)=20+\frac{10}{17}\operatorname{sen}0-\frac{40}{17}\operatorname{cos}0 + C e^{0} =20+0-\frac{40}{17}+C.
Como q(0)=0, temos
0=20-\frac{40}{17}+C.
Calculando 20-\tfrac{40}{17}=\tfrac{340-40}{17}=\tfrac{300}{17}, segue que
C=-\frac{300}{17}.

Passo 12

Substituindo C na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
q(t)=20-\frac{40}{17}\operatorname{cos}2t+\frac{10}{17}\operatorname{sen}2t-\frac{300}{17}e^{-t/2}.

Resposta

q(t)=20-\frac{40}{17}\operatorname{cos}2t+\frac{10}{17}\operatorname{sen}2t-\frac{300}{17}e^{-t/2}

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