A quantidade de produto químico indesejável presente em uma lagoa no instante
, obedece a seguinte equação diferencial:
Se no momento inicial
não há produto químico na lagoa, deduza que a quantidade presente no instante
vem dada por
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial inicial para a quantidade de produto químico
:
e a condição inicial
A tarefa é deduzir explicitamente
para
, isto é, encontrar a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui a função incógnita é
; o coeficiente multiplicando
é
e o termo do lado direito é uma função conhecida de
. Vamos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 3
O fator integrante
é dado por
A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por
para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
.
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos
Pelo produto da derivada, o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Vamos calcular a integral à direita, que se separa em duas partes:
Passo 6
Calculemos a primeira integral simples:
pois
e aqui
, então
.
Passo 7
Agora precisamos de
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha
e
. Então
e
. Assim
Chame a integral restante de
Para
aplicamos integração por partes com
,
. Então
e
, obtendo
Passo 8
Substituímos
na expressão de
:
Desenvolvendo:
Passando
para o lado esquerdo obtemos
Logo
Passo 9
Voltando à integral original, multiplicamos
por
:
Somando com a outra parte da integral, concluímos que
Passo 10
Portanto da integração anterior temos
Dividindo por
obtemos a solução geral:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
. Avaliando em
:
Como
, temos
Calculando
, segue que
Passo 12
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial: