Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0 \\\ y(0)=1 \text { е } y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.е

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=0,\\[4pt] y(0)=1,\; y^{\prime}(0)=-1. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é linear, homogênea e com coeficientes constantes: \;y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=0.\n
  • Condições iniciais: \;y(0)=1 e \;y^{\prime}(0)=-1.\n
    Pergunta explícita: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática e passo a passo do método):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como \;y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=0, um método padrão e muito eficiente é procurar soluções do tipo exponencial
y(x)=e^{rx},
onde r é um número a determinar. Explico por que: derivando y(x)=e^{rx} obtemos sempre múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Essa equação algébrica chama-se equação característica. Substituindo y=e^{rx} na equação dada, obtemos a equação para r.

Passo 3

Formação da equação característica e solução dela:
Substituindo y=e^{rx} na equação \;y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=0 e usando \;y^{\prime}=r e^{rx}, \;y^{\prime\prime}=r^{2}e^{rx}, cancelando o fator comum e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^{2}+r-6=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^{2}+r-6=(r-2)(r+3)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=-3.

Passo 4

Construção da solução geral a partir das raízes:
Como as raízes r_{1}=2 e r_{2}=-3 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais. Explicação curta: exponenciais com bases e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são linearmente independentes quando as raízes são distintas, então sua combinação gera todas as soluções.

Passo 5

Derivada da solução geral (precisamos para aplicar y^{\prime}(0)):
Calculamos a derivada da solução geral. Derivar exponencial é direto: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}. Assim
y'(x)=2C_{1}e^{2x}-3C_{2}e^{-3x}.

Passo 6

Aplicação das condições iniciais para obter um sistema linear para C_{1} e C_{2}:
Avaliamoas as expressões em x=0.
Para y(0)=1:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Para y^{\prime}(0)=-1:
y'(0)=2C_{1}e^{0}-3C_{2}e^{0}=2C_{1}-3C_{2}=-1.
Temos, portanto, o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] 2C_{1}-3C_{2}=-1. \end{cases}]

Passo 7

Resolução do sistema para encontrar C_{1} e C_{2} (contas detalhadas):
Da primeira equação isolamos C_{1}:
C_{1}=1-C_{2}.
Substituímos na segunda equação:
2(1-C_{2})-3C_{2}=-1.
Desenvolvendo:
2-2C_{2}-3C_{2}=-1,
2-5C_{2}=-1.
Passando 2 para o outro lado:
-5C_{2}=-3.
Dividindo por -5:
C_{2}=\frac{3}{5}.
Agora C_{1}=1-C_{2}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais com os valores obtidos (checar se não houve erro aritmético):
Calcule y(0)=C_{1}+C_{2}=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1 (confere).
Calcule y'(0)=2C_{1}-3C_{2}=2\cdot\frac{2}{5}-3\cdot\frac{3}{5}=\frac{4}{5}-\frac{9}{5}=-\frac{5}{5}=-1 (confere).
Tudo bate, então os valores de C_{1} e C_{2} estão corretos.

Resposta

y(x)=\frac{2}{5}e^{2x}+\frac{3}{5}e^{-3x}

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