Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Informações dadas:
- A equação diferencial é linear, homogênea e com coeficientes constantes:
.\n - Condições iniciais:
e .\n
Pergunta explícita: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática e passo a passo do método):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como , um método padrão e muito eficiente é procurar soluções do tipo exponencial
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
onde
é um número a determinar. Explico por que: derivando
obtemos sempre múltiplos de
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Essa equação algébrica chama-se equação característica. Substituindo
na equação dada, obtemos a equação para
.
Passo 3
Formação da equação característica e solução dela:
Substituindo na equação
e usando
,
, cancelando o fator comum
, obtemos a equação característica
Substituindo
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
portanto as raízes são
Passo 4
Construção da solução geral a partir das raízes:
Como as raízes e
são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
Como as raízes
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais. Explicação curta: exponenciais com bases
e
são linearmente independentes quando as raízes são distintas, então sua combinação gera todas as soluções.
Passo 5
Derivada da solução geral (precisamos para aplicar
):
Calculamos a derivada da solução geral. Derivar exponencial é direto: . Assim
Calculamos a derivada da solução geral. Derivar exponencial é direto:
Passo 6
Aplicação das condições iniciais para obter um sistema linear para
e
:
Avaliamoas as expressões em .
Para :
Avaliamoas as expressões em
Para
Para
:
Temos, portanto, o sistema linear
Passo 7
Resolução do sistema para encontrar
e
(contas detalhadas):
Da primeira equação isolamos :
Da primeira equação isolamos
Substituímos na segunda equação:
Desenvolvendo:
Passando
para o outro lado:
Dividindo por
:
Agora
.
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais com os valores obtidos (checar se não houve erro aritmético):
Calcule (confere).
Calcule (confere).
Tudo bate, então os valores de e
estão corretos.
Calcule
Calcule
Tudo bate, então os valores de