1. Considere um barômetro cuja coluna da altura de mercúrio é \mathrm{H}_{0} para uma determinada pressão atmosférica. O líquido sofre uma variação de temperatura \Delta \mathrm{t}. Se a pressão do local permanece constante e se \gamma é o coeficiente de dilatação do mercúrio, então a altura da coluna sofreu uma variação de:
    a) \Delta \mathrm{H}=\mathrm{H} 0 \gamma / \Delta \mathrm{t}
    b) \Delta \mathrm{H}=\gamma / \mathrm{H} 0 \Delta \mathrm{t}
    c) \Delta \mathrm{H}=\mathrm{H} 0^{2} \gamma \Delta \mathrm{t}
    d) \Delta \mathrm{H}=\mathrm{H} 0 \gamma \Delta \mathrm{t}
    e) \Delta \mathrm{H}=\mathrm{H} 0 \gamma / \Delta \mathrm{t} / 2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Altura inicial da coluna de mercúrio: \mathrm{H}_0.
  • Variação de temperatura: \Delta \mathrm{t}.
  • A pressão do local permanece constante.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio: \gamma.
  • Pergunta: qual é a variação da altura da coluna, isto é, \Delta \mathrm{H}?

Passo 2

Entender o que significa o coeficiente de dilatação volumétrica \gamma.
  • Definição: \gamma indica a variação relativa do volume por unidade de variação de temperatura.
  • Em fórmula: se o volume inicial é V_0 e a temperatura aumenta em \Delta \mathrm{t}, a variação de volume \Delta V satisfaz
\Delta V=\gamma V_0\Delta \mathrm{t}.
  • Portanto o volume final V é
V=V_0+\Delta V=V_0\bigl(1+\gamma\Delta \mathrm{t}\bigr).
Explique devagar: isso significa que, quando aquecemos o mercúrio, o seu volume cresce multiplicando por \bigl(1+\gamma\Delta \mathrm{t}\bigr).

Passo 3

Relacionar volumes com a altura da coluna.
  • A coluna de mercúrio tem uma certa área da seção transversal, que vamos chamar de A. Supondo que A não muda (o tubo não dilata de modo significativo ou esse efeito é desprezível), o volume do líquido na coluna é produto da área pela altura.
  • Volume inicial:
V_0 = A\,\mathrm{H}_0.
  • Volume final:
V = A\,\mathrm{H}.

Passo 4

Usar a relação de dilatação volumétrica para obter a nova altura.
  • Do Passo 2 temos V=V_0\bigl(1+\gamma\Delta \mathrm{t}\bigr).
  • Substituindo V_0=A\,\mathrm{H}_0 e V=A\,\mathrm{H} do Passo 3:
A\,\mathrm{H}=A\,\mathrm{H}_0\bigl(1+\gamma\Delta \mathrm{t}\bigr).
  • Como A\neq0, cancelar A:
\mathrm{H}=\mathrm{H}_0\bigl(1+\gamma\Delta \mathrm{t}\bigr).

Passo 5

Calcular a variação da altura \Delta \mathrm{H}.
  • Definição: \Delta \mathrm{H}=\mathrm{H}-\mathrm{H}_0.
  • Substituindo \mathrm{H} do Passo 4:
\Delta \mathrm{H}=\mathrm{H}_0\bigl(1+\gamma\Delta \mathrm{t}\bigr)-\mathrm{H}_0=\mathrm{H}_0\gamma\Delta \mathrm{t}.

Resposta

\Delta \mathrm{H}=\mathrm{H}_0\gamma\Delta \mathrm{t}

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