- Três termômetros de mercúrio, um graduado na escala Celsius, outro na escala Fahrenheit e um terceiro na escala Kelvin são mergulhados no mesmo líquido contido em um recipiente de equivalente água nulo. Após um certo tempo, já atingido o equilíbrio térmico, nota-se que a soma dos vetores numéricos indicados nas escalas Celsius e Fahrenheit é igual ao dobro da soma da temperatura de ponto de gelo com a temperatura de ponto vapor na escala Celsius para pressão normal. Determine a leitura do termômetro graduado na escala Kelvin.
a) 222 K
b) 333 K
c) 444 K
d) 555 K
e) 666 K
a) 222 K
b) 333 K
c) 444 K
d) 555 K
e) 666 K
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Três termômetros (Celsius, Fahrenheit e Kelvin) estão em equilíbrio térmico dentro do mesmo líquido. Isso significa que todos marcam a mesma temperatura física, só que em escalas diferentes.
- A soma dos valores indicados nos termômetros das escalas Celsius e Fahrenheit é igual ao dobro da soma da temperatura de ponto de gelo com a temperatura de ponto de vapor na escala Celsius, para pressão normal.
- Os pontos de referência em pressão normal são:
- ponto de gelo:
; - ponto de vapor:
.
- ponto de gelo:
O enunciado pergunta: determinar a leitura do termômetro na escala Kelvin (ou seja, a temperatura em
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação dada pode ser escrita simbolicamente relacionando as leituras nas escalas Celsius e Fahrenheit.
- Os valores de ponto de gelo e vapor em Celsius são
e .
Passo 2
Defino variáveis para ficar claro:
-
= temperatura medida na escala Celsius (em ). -
= temperatura medida na escala Fahrenheit (em ). -
= temperatura medida na escala Kelvin (em ).
Agora vou recordar (e derivar rapidamente) a relação entre Celsius e Fahrenheit, porque preciso converter entre as escalas:
- As escalas Celsius e Fahrenheit são lineares e coincidem nos pontos conhecidos:
-
corresponde a . -
corresponde a .
-
- A inclinação da reta que relaciona
com é - Portanto a relação linear é
onde está em e em . Aqui, é o fator de escala (ganho) e é o deslocamento (offset).
Também a relação entre Kelvin e Celsius é simplesmente uma translação da origem:
- A equivalência exata é
, logo - Em exercícios de concurso/prova às vezes usa-se a aproximação
; vou mostrar o valor exato e depois adaptar à lista de alternativas inteiras.
Passo 3
Escrevo a equação dada no enunciado usando as variáveis definidas:
- “A soma dos vetores numéricos indicados nas escalas Celsius e Fahrenheit” significa
. - “é igual ao dobro da soma da temperatura de ponto de gelo com a temperatura de ponto vapor na escala Celsius” significa
(tudo em ).
Portanto a equação dada é
Passo 4
Substituo a relação
na equação anterior:
Agora trato a álgebra passo a passo:
- Primeiro somo os termos em
: - Então a equação vira
- Subtraio
de ambos os lados: - Multiplico ambos os lados por
para isolar : - Faço a conta com cuidado:
, então
Logo a temperatura em Celsius é
.
Passo 5
Converto para Kelvin usando
:
Observação prática para escolher entre as alternativas inteiras: as alternativas são valores inteiros com passo de
. A aproximação usual em provas toma
, o que dá
que coincide com a alternativa exata mais próxima. Portanto a alternativa correta é a que corresponde a
.
Resposta
b)