Considere uma barra de comprimento ell com uma distribuição inicial de temperaturas dada por f(x)=-cos (pi(2 x+ell)2 ell), 0 <= x <= ell, e com as extremidades térmicamente isoladas.
Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?

Passo 1

O enunciado fala de uma barra de comprimento ell com condição de contorno de extremidades isoladas (Neumann homogêneas) e distribuição inicial de temperatura
f(x)=-cos!l(pi(2x+ell)2ellr), 0<= x<=ell
Em regime de equilíbrio térmico, como não há trocas pela borda, a temperatura se torna constante e igual à média da distribuição inicial ao longo da barra.

Passo 2

A temperatura de equilíbrio Teq é a média de f(x) em [0,ell], ou seja
Teq=1ellintegral0^ellf(x),dx

Passo 3

Para calcular integral0^ellf(x),dx, fazemos a substituição
u=2x+ell2ell, dx=ell,du, u(0)=tfrac12, u(ell)=tfrac32
Então
integral0^ellf(x),dx =-ellintegraltfrac12^tfrac32cos(pi u),du =-ellpil[sin(pi u)r]tfrac12^tfrac32 =-ellpil(-1-1r) =2ellpi

Passo 4

Substituindo na fórmula da média, obtém-se
Teq =1ellcdot2ellpi =2pi

Resposta

A temperatura de equilíbrio da barra é 2pi.

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