Considere o seguinte problema de calor para :
]
Se , encontre as EDOs e condições de fronteira satisfeitas por e .

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor
ut = 7,uxx, 0<= x<= pi,;t>=0
com condições de fronteira tipo Robin
ux(0,t)-2,u(0,t)=0, ux(pi,t)-u(pi,t)=0
e condição inicial u(x,0)=sen(x).
Vamos usar separação de variáveis, assumindo
u(x,t)=phi(x),psi(t)

Passo 2

Substituindo u=phi(x)psi(t) na PDE, obtemos
phi(x),psi'(t) = 7,phi''(x),psi(t)
Dividindo por 7,phi(x),psi(t) (assumindo phipsineq0), ficamos com
psi'(t)7,psi(t) = phi''(x)phi(x) = -lambda,
onde -lambda é constante de separação.

Passo 3

Dessa separação surgem duas EDOs: uma para o tempo e outra para o espaço. A EDO para psi(t) é
psi'(t) + 7,lambda,psi(t) = 0

Passo 4

A EDO para phi(x) é
phi''(x) + lambda,phi(x) = 0
As condições de fronteira originais viram restrições em phi: em x=0
phi'(0),psi(t) - 2,phi(0),psi(t) = 0 Longrightarrow phi'(0) - 2,phi(0) = 0,
e em x=pi
phi'(pi),psi(t) - phi(pi),psi(t) = 0 Longrightarrow phi'(pi) - phi(pi) = 0

Resposta

As EDOs e condições de fronteira são:
phi''(x) + lambda,phi(x) = 0,[6pt] phi'(0) - 2,phi(0) = 0,[6pt] phi'(pi) - phi(pi) = 0, psi'(t) + 7,lambda,psi(t) = 0 ]

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