Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(3) (valor:2,5 pts) Seja f: R R a função dada por f(x)=ln (1+x^2). Sabendo que
f^prime(x)=2 x1+x^2, f^prime prime(x)=2-2 x^2(1+x^2)^2
faça o que se pede abaixo:
(c) Dê os intervalos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo. Determine os pontos de inflexão, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função fcolon RtoR definida por
f(x)=lnl(1+x^2r)
com segunda derivada
f''(x)=2-2x^2(1+x^2)^2
Pede-se encontrar os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão. Para isso, usaremos o critério de concavidade via sinal de f''(x) e que pontos de inflexão são soluções de f''(x)=0 onde ocorre troca de sinal.

Passo 2

Determinar as soluções de
f''(x)=0
Isto equivale a
2-2x^2=0 Longrightarrow 1-x^2=0 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=pm1

Passo 3

Analisar o sinal de f''(x)=dfrac2(1-x^2)(1+x^2)^2. Note que o denominador (1+x^2)^2 é sempre positivo, logo o sinal de f''(x) é o mesmo do numerador 2(1-x^2):
  • Se -1<x<1, então 1-x^2>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se |x|>1, então 1-x^2<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 4

Como em x=pm1 a segunda derivada muda de sinal, esses são pontos de inflexão. Os valores de f nesses pontos são
f(pm1)=lnl(1+1^2r)=ln(2)
Portanto, os pontos de inflexão são l(-1,ln2r) e l(1,ln2r).

Resposta

Concavidade para cima em (-1,1).
Concavidade para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).
Pontos de inflexão em l(-1,ln2r) e l(1,ln2r).

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