Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(3) (valor:2,5 pts) Seja
a função dada por
. Sabendo que
faça o que se pede abaixo:
(c) Dê os intervalos onde
tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo. Determine os pontos de inflexão, caso existam.
(3) (valor:2,5 pts) Seja
(c) Dê os intervalos onde
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com segunda derivada
Pede-se encontrar os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão. Para isso, usaremos o critério de concavidade via sinal de
e que pontos de inflexão são soluções de
onde ocorre troca de sinal.
Passo 2
Determinar as soluções de
Isto equivale a
Passo 3
Analisar o sinal de
. Note que o denominador
é sempre positivo, logo o sinal de
é o mesmo do numerador
:
- Se
, então e (concavidade para cima). - Se
, então e (concavidade para baixo).
Passo 4
Como em
a segunda derivada muda de sinal, esses são pontos de inflexão. Os valores de
nesses pontos são
Portanto, os pontos de inflexão são
e
.
Resposta
Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão em e
.
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão em