Considere uma barra fina, homogênea, de massa M e comprimento L. Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra passando a 1 / 3 de uma de suas extremidades.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina e homogênea com massa M e comprimento L. Precisamos calcular o momento de inércia dessa barra em relação a um eixo perpendicular que passa a 1/3 do comprimento a partir de uma das suas extremidades. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de momento de inércia e o Teorema de Steiner.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Para uma barra fina e homogênea, o momento de inércia em relação ao centro da barra é dado por:
Icentro = 112 M L^2
Esse é o momento de inércia quando o eixo de rotação passa pelo centro da barra.

Passo 4

No nosso caso, o eixo de rotação não está no centro, mas a 1/3 do comprimento a partir de uma extremidade. Para calcular o momento de inércia nesse novo eixo, usamos o Teorema de Steiner, que nos permite deslocar o eixo de rotação.
A fórmula do Teorema de Steiner é:
I = Icentro + M d^2
onde:
  • I é o momento de inércia no novo eixo,
  • Icentro é o momento de inércia no eixo central,
  • M é a massa da barra,
  • d é a distância entre o eixo central e o novo eixo.

Passo 5

Vamos calcular a distância d entre o eixo central e o eixo que passa a 1/3 do comprimento da barra.
O eixo central está no meio da barra, ou seja, a L/2 de cada extremidade.
O novo eixo está a 1/3 , L de uma das extremidades.
Então,
d = | L2 - L3 | = 3L6 - 2L6 = L6

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Steiner:
I = 112 M L^2 + M ( L6 )^2
Vamos simplificar:
I = 112 M L^2 + 136 M L^2 = 336 M L^2 + 136 M L^2 = 436 M L^2 = 19 M L^2

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo dado é:
I = 19 M L^2

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