Considere uma barra fina, homogênea, de massa
e comprimento
. Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra passando a
de uma de suas extremidades.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra fina e homogênea com massa
e comprimento
. Precisamos calcular o momento de inércia dessa barra em relação a um eixo perpendicular que passa a
do comprimento a partir de uma das suas extremidades. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de momento de inércia e o Teorema de Steiner.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
Para uma barra fina e homogênea, o momento de inércia em relação ao centro da barra é dado por:
Esse é o momento de inércia quando o eixo de rotação passa pelo centro da barra.
Passo 4
No nosso caso, o eixo de rotação não está no centro, mas a
do comprimento a partir de uma extremidade. Para calcular o momento de inércia nesse novo eixo, usamos o Teorema de Steiner, que nos permite deslocar o eixo de rotação.
A fórmula do Teorema de Steiner é:
onde:
-
é o momento de inércia no novo eixo, -
é o momento de inércia no eixo central, -
é a massa da barra, -
é a distância entre o eixo central e o novo eixo.
Passo 5
Vamos calcular a distância
entre o eixo central e o eixo que passa a
do comprimento da barra.
O eixo central está no meio da barra, ou seja, a
de cada extremidade.
O novo eixo está a
de uma das extremidades.
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Steiner:
Vamos simplificar:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação ao eixo dado é: