Um objeto gira com aceleração angular alpha=4 t^3-6 t, onde t está em segundos e alpha em radianos por segundo ao quadrado. No instante t=0, a velocidade angular é 2 rad / s e a posição angular é theta=4 rad. Determine a velocidade angular e a posição angular para t=3 s.
omega=? theta=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um objeto está girando com uma aceleração angular que varia com o tempo, dada pela fórmula alpha(t) = 4t^3 - 6t, onde t está em segundos e alpha em radianos por segundo ao quadrado. No instante inicial ( t = 0), a velocidade angular é de 2 , rad/s e a posição angular é de 4 , rad. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade angular omega e a posição angular theta do objeto quando t = 3 , s.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, porque a aceleração é a derivada da velocidade, e a velocidade é a derivada da posição. Então, precisamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega(t). Sabemos que a aceleração angular alpha(t) é a derivada da velocidade:
alpha(t) = domegadt
Para encontrar omega(t), vamos integrar alpha(t) em relação ao tempo:
omega(t) = integral alpha(t) , dt + omega0
Onde omega0 é a velocidade inicial. Substituindo a expressão da aceleração:
omega(t) = integral (4t^3 - 6t) , dt + 2
Vamos integrar termo a termo:
integral 4t^3 , dt = 4 cdot t^44 = t^4
integral -6t , dt = -6 cdot t^22 = -3t^2
Então, a expressão da velocidade fica:
omega(t) = t^4 - 3t^2 + 2
Agora, vamos substituir t = 3 , s para encontrar omega(3):
omega(3) = (3)^4 - 3(3)^2 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56 , rad/s

Passo 3

Agora que temos a expressão da velocidade omega(t), vamos encontrar a posição angular theta(t). Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
omega(t) = dthetadt
Para encontrar theta(t), vamos integrar omega(t) em relação ao tempo:
theta(t) = integral omega(t) , dt + theta0
Onde theta0 é a posição inicial. Substituindo a expressão da velocidade:
theta(t) = integral (t^4 - 3t^2 + 2) , dt + 4
Vamos integrar termo a termo:
integral t^4 , dt = t^55
integral -3t^2 , dt = -3 cdot t^33 = -t^3
integral 2 , dt = 2t
Então, a expressão da posição fica:
theta(t) = t^55 - t^3 + 2t + 4
Agora, vamos substituir t = 3 , s para encontrar theta(3):
theta(3) = 3^55 - 3^3 + 2(3) + 4 = 2435 - 27 + 6 + 4
theta(3) = 48,6 - 27 + 6 + 4 = 31,6 , rad

Resposta

Para t = 3 , s, a velocidade angular é omega = 56 , rad/s e a posição angular é theta = 31,6 , rad.

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