Um objeto gira com aceleração angular
, onde
está em segundos e
em radianos por segundo ao quadrado. No instante
, a velocidade angular é
e a posição angular é
. Determine a velocidade angular e a posição angular para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um objeto está girando com uma aceleração angular que varia com o tempo, dada pela fórmula
, onde
está em segundos e
em radianos por segundo ao quadrado. No instante inicial (
), a velocidade angular é de
e a posição angular é de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade angular
e a posição angular
do objeto quando
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, porque a aceleração é a derivada da velocidade, e a velocidade é a derivada da posição. Então, precisamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
. Sabemos que a aceleração angular
é a derivada da velocidade:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Onde
é a velocidade inicial. Substituindo a expressão da aceleração:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão da velocidade fica:
Agora, vamos substituir
para encontrar
:
Passo 3
Agora que temos a expressão da velocidade
, vamos encontrar a posição angular
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Onde
é a posição inicial. Substituindo a expressão da velocidade:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão da posição fica:
Agora, vamos substituir
para encontrar
:
Resposta
Para
, a velocidade angular é
e a posição angular é
.