Considere a base \beta=\{(1,2,2),(5,3,-1),(-8,11,-7)\} do \mathbb{R}^{3} e a transformação linear L dada pela matriz
[L]_{\beta}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)
Determine os autoespaços de L a partir dessa matriz e selecione, se possível, autovetores de L para construir uma base do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base \beta=\{v_1,v_2,v_3\}, com
v_1=(1,2,2),\quad v_2=(5,3,-1),\quad v_3=(-8,11,-7),
é
[L]_{\beta}^{\beta} =\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Precisamos achar os autoespaços de L (valores e vetores próprios) e, se possível, selecionar autovetores que formem uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Como a matriz de L em \beta é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal principal, com multiplicidades algébricas
\lambda_1=2\quad(\text{mult.\,2}),\qquad \lambda_2=1\quad(\text{mult.\,1}).

Passo 3

Para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)x=0\) em coordenadas \((c_1,c_2,c_3)\) relativas a \(\beta\): \[\bigl([L]_{\beta}^{\beta}-I\bigr) =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\ c_3 = 0. \end{cases}
Logo (c_1,c_2,c_3)=(-t,t,0)\]. Tomando \(t=1, um vetor em coordenadas de \beta é (-1,1,0), que em coordenadas padrão é
-1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 = v_2 - v_1 = (5,3,-1)-(1,2,2) = (4,1,-3).
Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=1 é
E_{1} = \bigl\{\,\alpha\,(4,1,-3)\mid \alpha\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 4

Para \lambda=2\) resolvemos \((A-2I)x=0\): \[\bigl([L]_{\beta}^{\beta}-2I\bigr) =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{cases} c_2=0,\\\ c_2=0. \end{cases}
As variáveis livres são c_1\] e \(c_3. Um sistema de autovetores em coordenadas \beta é dado por (1,0,0) e (0,0,1), que correspondem, em padrão, aos vetores
v_1 = (1,2,2) \quad\text{e}\quad v_3 = (-8,11,-7).
Logo o autoespaço para \lambda=2 é
E_{2} = \bigl\{\alpha\,(1,2,2)+\beta\,(-8,11,-7)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 5

Concluímos que
E_{1} = \mathrm{span}\{(4,1,-3)\},\qquad E_{2} = \mathrm{span}\{(1,2,2),\,(-8,11,-7)\}.
Como \dim E_{1}=1 e \dim E_{2}=2 e os autovetores escolhidos são linearmente independentes, o conjunto
\{\,v_1=(1,2,2),\;v_3=(-8,11,-7),\;(4,1,-3)\}
é uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de L.

Resposta

O autoespaço associado a \lambda=1 é
E_{1}=\mathrm{span}\{(4,1,-3)\},
e o autoespaço associado a \lambda=2 é
E_{2}=\mathrm{span}\{(1,2,2),\,(-8,11,-7)\}.
Uma base de \mathbb{R}^3 de autovetores de L é
\{(1,2,2),\;(-8,11,-7),\;(4,1,-3)\}.

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