Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=|a| b, quando a, b \in \mathbb{R}^{*}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\} a operação
a*b = |a|\,b.
O que queremos é checar duas propriedades de operações binárias:
  1. Comutatividade: se sempre vale a*b = b*a.
  2. Associatividade: se sempre vale (a*b)*c = a*(b*c).

Passo 2

Para testar a comutatividade, comparamos
a*b = |a|\,b \quad\text{e}\quad b*a = |b|\,a.
Em geral |a|\,b\neq |b|\,a. Por exemplo, tome a=2 e b=-3:
a*b = |2|\cdot(-3) = 2\cdot(-3) = -6, \quad b*a = |{-3}|\cdot2 = 3\cdot2 = 6,
logo a*b \neq b*a.

Passo 3

Para testar a associatividade, calculemos cada lado:
  1. Primeiro a*b = |a|\,b, então
(a*b)*c = \bigl(|a|\,b\bigr)*c = \bigl|\,|a|\,b\bigr|\,c = |a|\,|b|\,c.
  1. Primeiro b*c = |b|\,c, então
a*(b*c) = a*\bigl(|b|\,c\bigr) = |a|\,\bigl(|b|\,c\bigr) = |a|\,|b|\,c.
Como os dois resultados coincidem para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}^*, a operação é associativa.

Resposta

A operação definida por a*b=|a|\,b é associativa e não é comutativa.

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