Determine se as operações binárias * sobre (\mathbb{R}) é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos: a * b=|a| b, quando a, b \in \mathbb{R}^{*}.
Passo 1
O enunciado define em \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\} a operação
a*b = |a|\,b.
O que queremos é checar duas propriedades de operações binárias:
Comutatividade: se sempre vale a*b = b*a.
Associatividade: se sempre vale (a*b)*c = a*(b*c).
Passo 2
Para testar a comutatividade, comparamos
a*b = |a|\,b \quad\text{e}\quad b*a = |b|\,a.
Em geral |a|\,b\neq |b|\,a. Por exemplo, tome a=2 e b=-3: