Considere a base
do
e a transformação linear
dada pela matriz
Determine os autoespaços de
a partir dessa matriz e selecione, se possível, autovetores de
para construir uma base do
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
cuja matriz na base
, com
é
Precisamos achar os autoespaços de
(valores e vetores próprios) e, se possível, selecionar autovetores que formem uma base de
.
Passo 2
Como a matriz de
em
é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal principal, com multiplicidades algébricas
Passo 3
Para
Logo
, um vetor em coordenadas de
é
, que em coordenadas padrão é
Portanto o autoespaço correspondente a
é
Passo 4
Para
As variáveis livres são
. Um sistema de autovetores em coordenadas
é dado por
e
, que correspondem, em padrão, aos vetores
Logo o autoespaço para
é
Passo 5
Concluímos que
Como
e
e os autovetores escolhidos são linearmente independentes, o conjunto
é uma base de
formada por autovetores de
.
Resposta
O autoespaço associado a
é
e o autoespaço associado a
é
Uma base de
de autovetores de
é