Calcule o angulo entre as retas:
\begin{aligned} x & =2+t \\\ r_{1}: \quad y & =1-t \\\ z & =3+2 t \\\ r_{2}: \quad \frac{x-1}{2} & =\frac{y+2}{1}=\frac{z}{3} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em \mathbb R^3. Para isso, vamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar a fórmula que relaciona o produto escalar desses vetores ao cosseno do ângulo entre as retas.

Passo 2

Da reta r_{1} dada por
x=2+t,\quad y=1-t,\quad z=3+2t
vemos que o vetor diretor é
\mathbf{v}_{1}=(1,\,-1,\,2).
Da reta r_{2} escrita na forma
\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{3}=s
temos a parametrização
x=1+2s,\quad y=-2+s,\quad z=3s,
logo o vetor diretor é
\mathbf{v}_{2}=(2,\,1,\,3).

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo \theta entre duas retas com vetores diretores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} é
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_{1}\cdot \mathbf{v}_{2}\bigr|}{\|\mathbf{v}_{1}\|\;\|\mathbf{v}_{2}\|}.
Calculemos primeiro o produto escalar:
\mathbf{v}_{1}\cdot \mathbf{v}_{2} =1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 3 =2 -1 +6 =7.

Passo 4

Agora as normas:
\|\mathbf{v}_{1}\| =\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}} =\sqrt{1+1+4} =\sqrt{6},
\|\mathbf{v}_{2}\| =\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}} =\sqrt{4+1+9} =\sqrt{14}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta =\frac{7}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} =\frac{7}{\sqrt{84}} =\frac{7}{2\sqrt{21}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{2\sqrt{21}}\bigr) \approx 40{,}2^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{2\sqrt{21}}\bigr)\approx 40{,}2^\circ.

Exercícios relacionados