Em , considere a base canônica e a base formada pelo seguinte conjunto de polinômios .
(b) Determine as coordenadas do polinômio na base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no contexto de espaços vetoriais de polinômios, especificamente no espaço , que são polinômios de grau no máximo 2. A gente tem duas bases: a base canônica e uma outra base . O que queremos é descobrir as coordenadas do polinômio na base . Para isso, vamos precisar usar combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de na base . Queremos expressar como uma combinação linear dos polinômios da base . Ou seja, precisamos achar números , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão à esquerda para facilitar a comparação com :
Somando tudo:
Passo 4
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Como a expressão à direita é , que não tem termo em , podemos igualar os coeficientes correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar c1 , c2 e c3 . Começando pela terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-3c2 + 4c3 = -1 5c2 - 3c3 = 2
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar por combinar as equações para eliminar uma das variáveis. Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 4: