Em P2, considere a base canônica alpha=1, t, t^2 e a base beta formada pelo seguinte conjunto de polinômios 1-t+t^2, 2 t+3 t^2, 4-3 t.
(b) Determine as coordenadas do polinômio p(t)=-1+2 t na base beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no contexto de espaços vetoriais de polinômios, especificamente no espaço P2 , que são polinômios de grau no máximo 2. A gente tem duas bases: a base canônica alpha = 1, t, t^2 e uma outra base beta = 1 - t + t^2,, 2t + 3t^2,, 4 - 3t. O que queremos é descobrir as coordenadas do polinômio p(t) = -1 + 2t na base beta. Para isso, vamos precisar usar combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de p(t) = -1 + 2t na base beta. Queremos expressar p(t) como uma combinação linear dos polinômios da base beta. Ou seja, precisamos achar números c1 , c2 e c3 tais que:
c1 (1 - t + t^2) + c2 (2t + 3t^2) + c3 (4 - 3t) = -1 + 2t

Passo 3

Vamos expandir a expressão à esquerda para facilitar a comparação com p(t) :
c1 (1 - t + t^2) = c1 - c1 t + c1 t^2
c2 (2t + 3t^2) = 2c2 t + 3c2 t^2
c3 (4 - 3t) = 4c3 - 3c3 t
Somando tudo:
(c1 + 4c3) + (-c1 t + 2c2 t - 3c3 t) + (c1 t^2 + 3c2 t^2) = -1 + 2t

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Termo constante: c1 + 4c3
Termo em t: -c1 + 2c2 - 3c3
Termo em t^2: c1 + 3c2
Como a expressão à direita é -1 + 2t , que não tem termo em t^2 , podemos igualar os coeficientes correspondentes:
c1 + 4c3 = -1 -c1 + 2c2 - 3c3 = 2 c1 + 3c2 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar c1 , c2 e c3 . Começando pela terceira equação:
c1 + 3c2 = 0 implies c1 = -3c2
Substituímos c1 = -3c2 nas outras equações:
Primeira equação:
-3c2 + 4c3 = -1 (1)
Segunda equação:
-(-3c2) + 2c2 - 3c3 = 2 implies 3c2 + 2c2 - 3c3 = 2 implies 5c2 - 3c3 = 2 (2)
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-3c2 + 4c3 = -1 5c2 - 3c3 = 2

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos optar por combinar as equações para eliminar uma das variáveis. Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 4:
-9c2 + 12c3 = -3 20c2 - 12c3 = 8
Somando as duas equações:
(-9c2 + 20c2) + (12c3 - 12c3) = -3 + 8 implies 11c2 = 5 implies c2 = 511
Agora, substituímos c2 = 511 na terceira equação para encontrar c1 :
c1 = -3c2 = -3 ( 511 ) = -1511
E substituímos c2 = 511 na primeira equação do sistema reduzido para encontrar c3 :
-3 ( 511 ) + 4c3 = -1 implies -1511 + 4c3 = -1 implies 4c3 = -1 + 1511 = -11 + 1511 = 411 implies c3 = 111

Resposta

As coordenadas do polinômio p(t) = -1 + 2t na base beta são:
( -1511,; 511,; 111 )

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