Em
, considere a base canônica
e a base
formada pelo seguinte conjunto de polinômios
.
(a) Determine a matriz mudança de coordenadas da base
para a base
.
(a) Determine a matriz mudança de coordenadas da base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de coordenadas da base β para a base α no espaço dos polinômios de grau 2,
. Basicamente, vamos precisar entender como passar das coordenadas na base β para as coordenadas na base α, que é a base canônica
. Para isso, vamos precisar expressar cada polinômio da base β em termos da base α.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Aqui, a base α é a canônica, o que significa que cada polinômio pode ser facilmente expresso como combinação linear dos elementos de α.
Passo 3
Agora, vamos listar os polinômios da base β que nos foram dados:
Nosso objetivo é expressar cada um desses polinômios como combinação linear dos elementos de α.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro polinômio de β:
Então, os coeficientes são
,
, e
.
Passo 5
O segundo polinômio de β é:
Aqui, os coeficientes são
,
, e
.
Passo 6
Por fim, temos o terceiro polinômio de β:
Os coeficientes são
,
, e
.
Passo 7
Agora que temos os coeficientes de cada polinômio de β em termos de α, podemos construir a matriz de mudança de coordenadas. Cada coluna dessa matriz será formada pelos coeficientes de um polinômio de β.
Resposta
A matriz de mudança de coordenadas da base
para a base
é: