Em P2, considere a base canônica alpha=1, t, t^2 e a base beta formada pelo seguinte conjunto de polinômios 1-t+t^2, 2 t+3 t^2, 4-3 t.
(a) Determine a matriz mudança de coordenadas da base beta para a base alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz de mudança de coordenadas da base β para a base α no espaço dos polinômios de grau 2, P2 . Basicamente, vamos precisar entender como passar das coordenadas na base β para as coordenadas na base α, que é a base canônica alpha = 1, t, t^2. Para isso, vamos precisar expressar cada polinômio da base β em termos da base α.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Aqui, a base α é a canônica, o que significa que cada polinômio pode ser facilmente expresso como combinação linear dos elementos de α.

Passo 3

Agora, vamos listar os polinômios da base β que nos foram dados:
beta = 1 - t + t^2, 2t + 3t^2, 4 - 3t
Nosso objetivo é expressar cada um desses polinômios como combinação linear dos elementos de α.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro polinômio de β:
1 - t + t^2 = 1 cdot 1 + (-1) cdot t + 1 cdot t^2
Então, os coeficientes são 1, -1, e 1.

Passo 5

O segundo polinômio de β é:
2t + 3t^2 = 0 cdot 1 + 2 cdot t + 3 cdot t^2
Aqui, os coeficientes são 0, 2, e 3.

Passo 6

Por fim, temos o terceiro polinômio de β:
4 - 3t = 4 cdot 1 + (-3) cdot t + 0 cdot t^2
Os coeficientes são 4, -3, e 0.

Passo 7

Agora que temos os coeficientes de cada polinômio de β em termos de α, podemos construir a matriz de mudança de coordenadas. Cada coluna dessa matriz será formada pelos coeficientes de um polinômio de β.

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas da base beta para a base alpha é:
1 & 0 & 4 -1 & 2 & -3 1 & 3 & 0

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