Considere a base \mathcal{S}=\left\{(1,2,0)^{T},(1,3,2)^{T},(0,1,3)^{T}\right\} de \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre a matriz de mudança de base da base \mathcal{S} para a base canônica de \mathbb{R}^{3}
(b) Encontre a matriz de mudança de base da base canônica de \mathbb{R}^{3} para a base \mathcal{S}.
Passo 1
O enunciado dá a base \mathcal{S}=\{(1,2,0)^{T},(1,3,2)^{T},(0,1,3)^{T}\} de \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
(a) a matriz de mudança de base da base \mathcal{S} para a base canônica de \mathbb{R}^{3};
(b) a matriz de mudança de base da base canônica de \mathbb{R}^{3} para a base \mathcal{S}.
Conceito importante (explicação didática e intuitiva): a “matriz de mudança de base” que vai de uma base \mathcal{S} para a base canônica (denotada aqui por E) converte coordenadas em \mathcal{S} para coordenadas no sistema canônico. Se tivermos um vetor qualquer x e suas coordenadas na base \mathcal{S} forem [x]_{\mathcal{S}}, então a matriz P que faz [x]_{E}=P\,[x]_{\mathcal{S}} é construída colocando as coordenadas dos vetores de \mathcal{S} (expressos na base canônica) como colunas de P.
Em palavras simples: para passar de coordenadas em \mathcal{S} para o vetor na forma canônica, eu pego a combinação linear das colunas (que são os vetores de \mathcal{S}). Por isso as colunas da matriz são exatamente v_{1},v_{2},v_{3}.
Passo 3
Formamos a matriz P cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}. Portanto a matriz de mudança de base de \mathcal{S} para a base canônica é
Aqui cada coluna é um vetor da base \mathcal{S} escrito nas coordenadas canônicas.]
Passo 4
Agora precisamos da matriz que vai da base canônica para \mathcal{S}. Conceito: se [x]_{E}=P\,[x]_{\mathcal{S}}, então para obter [x]_{\mathcal{S}} a partir de [x]_{E} devemos multiplicar por P^{-1}. Assim a matriz de mudança de base da canônica para \mathcal{S} é simplesmente P^{-1}.
Vou calcular P^{-1} explicitamente usando eliminação de Gauss–Jordan, mostrando passo a passo para você poder reproduzir na prova.
Passo 5
Começamos com a matriz aumentada \bigl[P \mid I\bigr]:
R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2} não ainda — primeiro é mais conveniente usar o pivô em R_{2} (que já é 1) para eliminar a coluna 2 nas outras linhas. Mas para ordem explícita faço:
2a) Eliminar coluna 2 em R_{1}: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.