Considere as bases \mathcal{B}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \mathcal{S}=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}, relacionadas da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{l} w_{1}=u_{1}+u 3 \\\ w_{2}=u_{1}-u_{2} \\\ w_{3}=u_{2}-u_{3} \end{array}\right.
Determine a matriz de mudança da base \mathcal{S} para a base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases \mathcal{B}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}\) e \(\mathcal{S}=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}\) e informa as relações entre seus vetores: \[\begin{cases} w_{1}=u_{1}+u_{3},\\[4pt] w_{2}=u_{1}-u_{2},\\[4pt] w_{3}=u_{2}-u_{3}. \end{cases}
A pergunta é: determinar a matriz de mudança da base \mathcal{S}\] para a base \(\mathcal{B}. Ou seja, queremos a matriz que transforma coordenadas de um vetor expressas em \mathcal{S} para coordenadas do mesmo vetor em \mathcal{B}.]

Passo 2

Vou explicar claramente o que significa essa matriz de mudança. Se [v]_{\mathcal{S}} é o vetor de coordenadas de um vetor v na base \mathcal{S} e [v]_{\mathcal{B}} é o vetor de coordenadas de v na base \mathcal{B}, então existe uma matriz P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{S}} tal que
[v]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{S}}\, [v]_{\mathcal{S}}.
Intuitivamente, cada coluna de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{S}} é justamente as coordenadas, na base \mathcal{B}, de um dos vetores da base \mathcal{S}. Em outras palavras, a primeira coluna é [w_{1}]_{\mathcal{B}}, a segunda é [w_{2}]_{\mathcal{B}} e a terceira é [w_{3}]_{\mathcal{B}}. Isso vem direto da linearidade: se v=\sum_{i}\alpha_{i}w_{i}, escrevendo cada w_{i} em termos dos u_{j} obtemos as coordenadas em \mathcal{B} como combinação linear das colunas.

Passo 3

Agora extraímos as coordenadas de cada w_{i} em relação à base \mathcal{B}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} usando as igualdades dadas.
  • Para w_{1}=u_{1}+u_{3}: os coeficientes diante de u_{1},u_{2},u_{3} são, respectivamente, 1,0,1. Logo
[w_{1}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para w_{2}=u_{1}-u_{2}: os coeficientes são 1,-1,0. Logo
[w_{2}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para w_{3}=u_{2}-u_{3}: os coeficientes são 0,1,-1. Logo
[w_{3}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agrupando essas colunas na ordem w_{1},w_{2},w_{3} obtemos a matriz de mudança desejada. Colocamos cada vetor [w_{i}]_{\mathcal{B}} como a i-ésima coluna de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{S}}.

Resposta

P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{S}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}]

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