Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, para cada conjunto, que eu determine a dimensão e construa uma base de um subespaço vetorial de
. As duas partes são:
(a) o conjunto
. Informação dada: a relação linear entre as coordenadas é
.
(b) o conjunto . Informação dada: a relação linear entre as coordenadas é
.
(b) o conjunto
Não começo a resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e as condições dadas.
Passo 2
Vou explicar os conceitos que vou usar (devagar e sem pular etapas).
-
O que é uma base de um subespaço?
Uma base é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades: (i) geram o subespaço (ou seja, todo vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) são linearmente independentes (nenhum dos vetores da base pode ser escrito como combinação linear dos outros). -
O que é dimensão?
A dimensão é o número de vetores em qualquer base do subespaço. Para subespaços de, as possíveis dimensões são ou . -
Estratégia prática (muito usada em provas): parametrizar o conjunto usando variáveis livres. Ou seja, resolver a condição(s) do problema para expressar
como combinação de vetores multiplicados por parâmetros livres. Esses vetores candidatos costumam formar um gerador do subespaço; daí verificamos independência linear para decidir se são uma base e contamos quantos vetores são para obter a dimensão.
Vou aplicar essa estratégia em cada item.
Passo 3
Resolvendo (a). A condição é
. Vou parametrizar os vetores por
e
(essas serão minhas variáveis livres).
Escrevo o vetor genérico
substituindo
por
:
Agora fatoro
e
:
Isto mostra que todo vetor do conjunto é combinação linear dos vetores
e
. Portanto o subespaço está contido em
, e visto que qualquer combinação desses dois tem
, na verdade o subespaço é exatamente esse span.
Passo 4
Ainda em (a): verificar independência linear dos vetores escolhidos.
Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
- primeira coordenada:
, - terceira coordenada:
, - segunda coordenada:
(já satisfeita se ).
Logo
e
, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Como são dois vetores independentes que geram o subespaço, eles formam uma base e a dimensão é
. Intuitivamente, é um plano (passa pela origem) em
.
Passo 5
Resumo (a) em palavras: o conjunto é um plano através da origem formado por todos os vetores cujas segundas coordenadas são três vezes as primeiras. Uma base natural é
e
.
Passo 6
Resolvendo (b). A condição é
. Vou expressar
em função de
e
(variáveis livres):
Substituo na forma do vetor:
Agora fatoro
e
:
Assim todo vetor do subespaço é combinação linear de
e
, ou seja o subespaço é contido em
, e recíprocamente qualquer combinação desses satisfaz a equação, logo é exatamente o span.
Passo 7
Ainda em (b): verificar independência linear dos dois vetores.
Suponha
. Coordenada a coordenada:
- primeira coordenada:
, - terceira coordenada:
, - segunda coordenada:
que é satisfeita quando .
Logo
e
; os vetores são linearmente independentes.
Portanto esses dois vetores formam uma base do subespaço e a dimensão é
. Novamente é um plano através da origem (única equação linear homogênea impõe uma restrição, ficando dimensão
).
Passo 8
Observação final e alternativa: em ambos os itens apareceu um único parâmetro linear independente a menos do total de 3 coordenadas (ou seja, uma equação linear independente reduz a dimensão em 1). As bases que escolhi são bastante naturais pela parametrização; outras bases válidas existem (qualquer par de vetores independentes que gerem o mesmo plano serve).
Resposta
(a)
. Uma base é
.
(b) . Uma base é
.
(b)