Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais:
(a) \left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3}: y=3 x\right\}
(b) \left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-y+3 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede, para cada conjunto, que eu determine a dimensão e construa uma base de um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. As duas partes são:
(a) o conjunto \{(x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}: y=3x\}. Informação dada: a relação linear entre as coordenadas é y=3x.
(b) o conjunto \{(x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}: 2x-y+3z=0\}. Informação dada: a relação linear entre as coordenadas é 2x-y+3z=0.
Não começo a resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e as condições dadas.

Passo 2

Vou explicar os conceitos que vou usar (devagar e sem pular etapas).
  • O que é uma base de um subespaço?
    Uma base é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades: (i) geram o subespaço (ou seja, todo vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) são linearmente independentes (nenhum dos vetores da base pode ser escrito como combinação linear dos outros).
  • O que é dimensão?
    A dimensão é o número de vetores em qualquer base do subespaço. Para subespaços de \mathbb{R}^{3}, as possíveis dimensões são 0,1,2 ou 3.
  • Estratégia prática (muito usada em provas): parametrizar o conjunto usando variáveis livres. Ou seja, resolver a condição(s) do problema para expressar (x,y,z) como combinação de vetores multiplicados por parâmetros livres. Esses vetores candidatos costumam formar um gerador do subespaço; daí verificamos independência linear para decidir se são uma base e contamos quantos vetores são para obter a dimensão.
Vou aplicar essa estratégia em cada item.

Passo 3

Resolvendo (a). A condição é y=3x. Vou parametrizar os vetores por x e z (essas serão minhas variáveis livres).
Escrevo o vetor genérico (x,y,z)^{T} substituindo y por 3x:
(x,y,z)^{T}=(x,3x,z)^{T}.
Agora fatoro x e z:
(x,3x,z)^{T}=x(1,3,0)^{T}+z(0,0,1)^{T}.
Isto mostra que todo vetor do conjunto é combinação linear dos vetores (1,3,0)^{T} e (0,0,1)^{T}. Portanto o subespaço está contido em \operatorname{span}\{(1,3,0)^{T},(0,0,1)^{T}\}, e visto que qualquer combinação desses dois tem y=3x, na verdade o subespaço é exatamente esse span.

Passo 4

Ainda em (a): verificar independência linear dos vetores escolhidos.
Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a(1,3,0)^{T}+b(0,0,1)^{T}=(0,0,0)^{T}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
  • primeira coordenada: a=0,
  • terceira coordenada: b=0,
  • segunda coordenada: 3a+0\cdot b=0 (já satisfeita se a=0).
Logo a=0 e b=0, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Como são dois vetores independentes que geram o subespaço, eles formam uma base e a dimensão é 2. Intuitivamente, é um plano (passa pela origem) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Resumo (a) em palavras: o conjunto é um plano através da origem formado por todos os vetores cujas segundas coordenadas são três vezes as primeiras. Uma base natural é \{(1,3,0)^{T},(0,0,1)^{T}\} e \dim=2.

Passo 6

Resolvendo (b). A condição é 2x-y+3z=0. Vou expressar y em função de x e z (variáveis livres):
2x-y+3z=0\quad\Longrightarrow\quad y=2x+3z.
Substituo na forma do vetor:
(x,y,z)^{T}=(x,2x+3z,z)^{T}.
Agora fatoro x e z:
(x,2x+3z,z)^{T}=x(1,2,0)^{T}+z(0,3,1)^{T}.
Assim todo vetor do subespaço é combinação linear de (1,2,0)^{T} e (0,3,1)^{T}, ou seja o subespaço é contido em \operatorname{span}\{(1,2,0)^{T},(0,3,1)^{T}\}, e recíprocamente qualquer combinação desses satisfaz a equação, logo é exatamente o span.

Passo 7

Ainda em (b): verificar independência linear dos dois vetores.
Suponha a(1,2,0)^{T}+b(0,3,1)^{T}=(0,0,0)^{T}. Coordenada a coordenada:
  • primeira coordenada: a=0,
  • terceira coordenada: b=0,
  • segunda coordenada: 2a+3b=0 que é satisfeita quando a=b=0.
Logo a=0 e b=0; os vetores são linearmente independentes.
Portanto esses dois vetores formam uma base do subespaço e a dimensão é 2. Novamente é um plano através da origem (única equação linear homogênea impõe uma restrição, ficando dimensão 3-1=2).

Passo 8

Observação final e alternativa: em ambos os itens apareceu um único parâmetro linear independente a menos do total de 3 coordenadas (ou seja, uma equação linear independente reduz a dimensão em 1). As bases que escolhi são bastante naturais pela parametrização; outras bases válidas existem (qualquer par de vetores independentes que gerem o mesmo plano serve).

Resposta

(a) \dim=2. Uma base é \{(1,3,0)^{T},(0,0,1)^{T}\}.
(b) \dim=2. Uma base é \{(1,2,0)^{T},(0,3,1)^{T}\}.

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