Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \gamma=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, relacionadas da seguinte forma:
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Sabendo que [u]_{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right), determine o vetor u com relação à base \gamma.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3\), \(\beta=\{u_1,u_2,u_3\}\) e \(\gamma=\{w_1,w_2,w_3\}\), relacionadas por
\[\begin{cases} w_1 = u_1 - u_2,\\\ w_2 = u_3,\\\ w_3 = 3\,u_1 + 3\,u_3. \end{cases}
Vamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta}\] (que leva coordenadas em \(\gamma para coordenadas em \beta) e [I]_{\beta}^{\gamma}, e depois converter o vetor dado.
Passo 2
Para montar [I]_{\gamma}^{\beta}, escrevemos cada w_j em coordenadas da base \beta.
- w_1 = 1\,u_1 + (-1)\,u_2 + 0\,u_3
- w_2 = 0\,u_1 + 0\,u_2 + 1\,u_3
- w_3 = 3\,u_1 + 0\,u_2 + 3\,u_3
Assim, colocando esses coeficientes como colunas,