Considere a seguinte matriz de mudança da base \beta para a base \beta^{\prime} :
[I]_{\beta^{\prime}}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)
Encontre:
(b) [v]_{\beta^{\prime}}, sabendo que [v]_{\beta}=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base [I]_{\beta'}^{\beta} e o vetor [v]_{\beta}, e pede [v]_{\beta'}. Para isso, usamos a relação de mudança de base:
[v]_{\beta'} = [I]_{\beta'}^{\beta}\,[v]_{\beta}.

Passo 2

Multiplicamos a matriz pelos componentes do vetor, linha a linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\\\ 2\\\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\\ 1\\\\ -4 \end{pmatrix}.
Na primeira linha: 1\cdot(-1)+1\cdot2+0\cdot3=1.
Na segunda linha: 0\cdot(-1)+(-1)\cdot2+1\cdot3=1.
Na terceira linha: 1\cdot(-1)+0\cdot2+(-1)\cdot3=-4.

Resposta

[v]_{\beta'} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -4\end{pmatrix}

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