Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \gamma=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, relacionadas da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{lllll} w_{1} & = & u_{1} & - & u_{2} \\\ w_{2} & = & & u_{3} \\\ w_{3} & = & 3 u_{1} & & \\\ & & & + & 3 u_{3} \end{array}\right.
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Sabendo que [u]_{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right), determine o vetor u com relação à base \gamma.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3\), \(\beta=\{u_1,u_2,u_3\}\) e \(\gamma=\{w_1,w_2,w_3\}\), relacionadas por \[\begin{cases} w_1 = u_1 - u_2,\\\ w_2 = u_3,\\\ w_3 = 3\,u_1 + 3\,u_3. \end{cases}
Vamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta}\] (que leva coordenadas em \(\gamma para coordenadas em \beta) e [I]_{\beta}^{\gamma}, e depois converter o vetor dado.

Passo 2

Para montar [I]_{\gamma}^{\beta}, escrevemos cada w_j em coordenadas da base \beta.
- w_1 = 1\,u_1 + (-1)\,u_2 + 0\,u_3
- w_2 = 0\,u_1 + 0\,u_2 + 1\,u_3
- w_3 = 3\,u_1 + 0\,u_2 + 3\,u_3
Assim, colocando esses coeficientes como colunas,
[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz [I]_{\beta}^{\gamma} é a inversa de [I]_{\gamma}^{\beta}. Seja
A = [I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Resolvendo A\,x = b e extraindo a inversa, ou calculando diretamente, obtemos
[I]_{\beta}^{\gamma} = A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 1\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para converter o vetor u dado por [u]_{\beta}=(1,2,3)^{T} para coordenadas em \gamma, usamos
[u]_{\gamma} = [I]_{\beta}^{\gamma}\,[u]_{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 1\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\\\ 0\\\\ 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\gamma}^{\beta}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix},
\quad
[I]_{\beta}^{\gamma}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 1\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & 0 \end{pmatrix},
\quad
[u]_{\gamma}=\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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